Номер 24.19, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 24. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов. Глава IV. Тригонометрия. Часть 2 - номер 24.19, страница 61.

Условие рус.

24.19. Значения синусов двух острых углов треугольника равны 0,6 и 0,8. Найдите значение синуса третьего угла треугольника.

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию, два угла, пусть это будут $\alpha$ и $\beta$, являются острыми. Нам даны их синусы: $\sin(\alpha) = 0.6$ и $\sin(\beta) = 0.8$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Отсюда можно выразить третий угол $\gamma$ через два других: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Нам необходимо найти синус третьего угла, то есть $\sin(\gamma)$. Используя формулу приведения для синуса, имеем:

$\sin(\gamma) = \sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$

Для вычисления $\sin(\alpha + \beta)$ применим формулу синуса суммы двух углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$

Мы знаем значения $\sin(\alpha)$ и $\sin(\beta)$. Чтобы найти значения $\cos(\alpha)$ и $\cos(\beta)$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ острые (лежат в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$), их косинусы будут положительными.

Найдем $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$.

Найдем $\cos(\beta)$:

$\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - (0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$.

Теперь, когда все компоненты известны, подставим их в формулу синуса суммы:

$\sin(\gamma) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) = (0.6) \cdot (0.6) + (0.8) \cdot (0.8)$.

Произведем вычисления:

$\sin(\gamma) = 0.36 + 0.64 = 1$.

Синус третьего угла равен 1. Это означает, что третий угол $\gamma$ равен $90^\circ$, и данный треугольник является прямоугольным.

Ответ: 1