Номер 24.12, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите значения выражений (24.12—24.13):

24.12. 1) $sin(45^\circ - \alpha)$, если $\cos \alpha = -0,5$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$;

2) $sin(60^\circ + \alpha)$, если $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$;

3) $cos(60^\circ + \alpha)$, если $cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$;

4) $cos(30^\circ - \alpha)$, если $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1) sin(45° - a), если cos⁡a = -0,5 и 90° < a < 180°

Для решения воспользуемся формулой синуса разности: $sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ$.

$sin(45° - a) = sin45° cosa - cos45° sina$

Нам известны значения $sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cosa = -0,5 = -\frac{1}{2}$.

Необходимо найти $sina$. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2a + cos^2a = 1$.

$sin^2a = 1 - cos^2a = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Отсюда $sina = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как по условию угол $a$ находится во второй четверти ($90° < a < 180°$), синус этого угла положителен. Следовательно, $sina = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим все значения в исходную формулу:

$sin(45° - a) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

2) sin(60° + a), если sina = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и 90° < a < 180°

Применим формулу синуса суммы: $sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ$.

$sin(60° + a) = sin60° cosa + cos60° sina$

Нам известны значения $sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos60° = \frac{1}{2}$ и $sina = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем $cosa$. Из основного тригонометрического тождества:

$cos^2a = 1 - sin^2a = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $cosa = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Поскольку угол $a$ находится во второй четверти ($90° < a < 180°$), косинус этого угла отрицателен. Значит, $cosa = -\frac{1}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$sin(60° + a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$.

Ответ: $0$.

3) cos(60° + a), если cos⁡a = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и 90° < a < 180°

Воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ$.

$cos(60° + a) = cos60° cosa - sin60° sina$

Нам известны значения $cos60° = \frac{1}{2}$, $sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cosa = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем $sina$ из основного тригонометрического тождества:

$sin^2a = 1 - cos^2a = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $sina = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Так как угол $a$ находится во второй четверти ($90° < a < 180°$), синус этого угла положителен. Следовательно, $sina = \frac{1}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$cos(60° + a) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) cos(30° - a), если sina = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и 90° < a < 180°

Применим формулу косинуса разности: $cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ$.

$cos(30° - a) = cos30° cosa + sin30° sina$

Нам известны значения $cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $sin30° = \frac{1}{2}$ и $sina = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем $cosa$. Этот расчет аналогичен расчету в пункте 2. Из $sin^2a + cos^2a = 1$ получаем $cos^2a = \frac{1}{4}$.

Учитывая, что угол $a$ находится во второй четверти ($90° < a < 180°$), косинус отрицателен. Значит, $cosa = -\frac{1}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$cos(30° - a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$.

Ответ: $0$.