Номер 24.9, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.9. Найдите значение выражения:

1) $ \sin(45^\circ - \alpha) $, если $ \sin\alpha = 0,3 $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $;

2) $ \sin(60^\circ + \alpha) $, если $ \cos\alpha = 0,4 $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $;

3) $ \cos(45^\circ - \alpha) $, если $ \sin\alpha = 0,2 $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $;

4) $ \sin(30^\circ + \alpha) $, если $ \cos\alpha = 0,1 $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $.

1) Для нахождения значения выражения $sin(45^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулой синуса разности: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.
В нашем случае $x = 45^\circ$ и $y = \alpha$, поэтому формула принимает вид: $sin(45^\circ - \alpha) = sin(45^\circ)cos(\alpha) - cos(45^\circ)sin(\alpha)$.
Значения стандартных углов: $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. По условию дано $sin(\alpha) = 0,3$.
Найдем $cos(\alpha)$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Отсюда $cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin^2(\alpha)}$. Мы берем положительное значение корня, так как по условию угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), где косинус положителен.
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - (0,3)^2} = \sqrt{1 - 0,09} = \sqrt{0,91}$.
Теперь подставим все известные значения в формулу синуса разности. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $sin(\alpha) = \frac{3}{10}$.
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - (\frac{3}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{100}} = \sqrt{\frac{91}{100}} = \frac{\sqrt{91}}{10}$.
$sin(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{91}}{10} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{10} = \frac{\sqrt{2 \cdot 91}}{20} - \frac{3\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{182} - 3\sqrt{2}}{20}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{182} - 3\sqrt{2}}{20}$.

2) Для нахождения $sin(60^\circ + \alpha)$ используем формулу синуса суммы: $sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.
Применяя ее к нашему выражению, получаем: $sin(60^\circ + \alpha) = sin(60^\circ)cos(\alpha) + cos(60^\circ)sin(\alpha)$.
Известно, что $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. По условию $cos(\alpha) = 0,4$.
Найдем $sin(\alpha)$ из тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Так как $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, $sin(\alpha)$ положителен: $sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)}$.
Представим $cos(\alpha)$ в виде обыкновенной дроби: $cos(\alpha) = 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$sin(\alpha) = \sqrt{1 - (\frac{2}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.
Подставляем значения в формулу:
$sin(60^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{2\sqrt{3}}{10} + \frac{\sqrt{21}}{10} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{10}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{10}$.

3) Для нахождения $cos(45^\circ - \alpha)$ используем формулу косинуса разности: $cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$.
В данном случае: $cos(45^\circ - \alpha) = cos(45^\circ)cos(\alpha) + sin(45^\circ)sin(\alpha)$.
Известно, что $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. По условию $sin(\alpha) = 0,2$.
Найдем $cos(\alpha)$ из тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Так как $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, $cos(\alpha)$ положителен: $cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin^2(\alpha)}$.
Представим $sin(\alpha)$ в виде обыкновенной дроби: $sin(\alpha) = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
Подставляем значения в формулу:
$cos(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2\sqrt{12}}{10} + \frac{\sqrt{2}}{10} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{10} = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{2}}{10}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{3} + \sqrt{2}}{10}$.

4) Для нахождения $sin(30^\circ + \alpha)$ используем формулу синуса суммы: $sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.
Применительно к задаче: $sin(30^\circ + \alpha) = sin(30^\circ)cos(\alpha) + cos(30^\circ)sin(\alpha)$.
Известно, что $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. По условию $cos(\alpha) = 0,1$.
Найдем $sin(\alpha)$ из тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Так как $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, $sin(\alpha)$ положителен: $sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)}$.
Представим $cos(\alpha)$ в виде обыкновенной дроби: $cos(\alpha) = 0,1 = \frac{1}{10}$.
$sin(\alpha) = \sqrt{1 - (\frac{1}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{100}} = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 11}}{10} = \frac{3\sqrt{11}}{10}$.
Подставляем значения в формулу:
$sin(30^\circ + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{11}}{10} = \frac{1}{20} + \frac{3\sqrt{33}}{20} = \frac{1 + 3\sqrt{33}}{20}$.
Ответ: $\frac{1 + 3\sqrt{33}}{20}$.