Номер 24.4, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.4. Известно, что $\alpha$ и $\beta$ — углы I четверти и $\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \beta = \frac{1}{3}$.

Вычислите:

1) $\sin(\alpha + \beta)$;

2) $\sin(\alpha - \beta)$;

3) $\cos(\alpha + \beta)$;

4) $\cos(\alpha - \beta)$.

Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в I четверти, их синусы и косинусы являются положительными числами.

По условию задачи нам известно, что $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos\beta = \frac{1}{3}$.

Для решения нам понадобятся значения $\cos\alpha$ и $\sin\beta$. Найдем их, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$.

1. Найдем $\cos\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$

Так как $\alpha$ — угол I четверти, $\cos\alpha > 0$, следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

2. Найдем $\sin\beta$:

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta$

$\sin^2\beta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9-1}{9} = \frac{8}{9}$

Так как $\beta$ — угол I четверти, $\sin\beta > 0$, следовательно, $\sin\beta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь, имея все четыре значения ($\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$, $\sin\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\cos\beta = \frac{1}{3}$), мы можем вычислить требуемые выражения.

1) sin(α + β)

Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Подставляем наши значения:

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3}{15} + \frac{8\sqrt{2}}{15} = \frac{3 + 8\sqrt{2}}{15}$

Ответ: $\frac{3 + 8\sqrt{2}}{15}$.

2) sin(α - β)

Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Подставляем наши значения:

$\sin(\alpha - \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} - \frac{4}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3}{15} - \frac{8\sqrt{2}}{15} = \frac{3 - 8\sqrt{2}}{15}$

Ответ: $\frac{3 - 8\sqrt{2}}{15}$.

3) cos(α + β)

Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

Подставляем наши значения:

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{15} - \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{4 - 6\sqrt{2}}{15}$

Ответ: $\frac{4 - 6\sqrt{2}}{15}$.

4) cos(α - β)

Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Подставляем наши значения:

$\cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{15} + \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{4 + 6\sqrt{2}}{15}$

Ответ: $\frac{4 + 6\sqrt{2}}{15}$.