Номер 23.31, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.31. Решите систему неравенств:

1)

$$ \begin{cases} x^2 - 3x - 18 \le 0, \\ |x - 3| > 1; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} x^2 + x - 12 \le 0, \\ |x + 5| \le 6; \end{cases} $$

3)

$$ \begin{cases} 2x^2 + 3x - 14 < 0, \\ |x - 1| \ge 2. \end{cases} $$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 3x - 18 \le 0 \\ |x-3| > 1 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 3x - 18 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -18. Следовательно, корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x - 18$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на отрезке между корнями.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-3, 6]$.

Теперь решим второе неравенство: $|x-3| > 1$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$x-3 > 1$ или $x-3 < -1$.
Решая первое, получаем $x > 4$.
Решая второе, получаем $x < 2$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Наконец, найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти общие решения для $x \in [-3, 6]$ и $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.
Изобразив эти множества на числовой прямой, мы видим, что их пересечение состоит из двух интервалов: от -3 (включительно) до 2 (не включительно) и от 4 (не включительно) до 6 (включительно).
Таким образом, решение системы: $x \in [-3, 2) \cup (4, 6]$.

Ответ: $x \in [-3, 2) \cup (4, 6]$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + x - 12 \le 0 \\ |x+5| \le 6 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 + x - 12 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -12. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
Парабола $y = x^2 + x - 12$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $ \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-4, 3]$.

Решим второе неравенство: $|x+5| \le 6$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-6 \le x+5 \le 6$.
Вычитаем 5 из всех частей:
$-6 - 5 \le x \le 6 - 5$.
$-11 \le x \le 1$.
Решение второго неравенства: $x \in [-11, 1]$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-4, 3]$ и $x \in [-11, 1]$.
Общей частью этих двух отрезков является отрезок от большего из левых концов (это -4) до меньшего из правых концов (это 1).
Следовательно, решение системы: $x \in [-4, 1]$.

Ответ: $x \in [-4, 1]$.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x^2 + 3x - 14 < 0 \\ |x-1| \ge 2 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2x^2 + 3x - 14 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 14 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$.
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x - 14$ направлены вверх, поэтому неравенство $ < 0 $ выполняется на интервале между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-3.5, 2)$.

Решим второе неравенство: $|x-1| \ge 2$.
Это неравенство равносильно совокупности:
$x-1 \ge 2$ или $x-1 \le -2$.
Из первого неравенства получаем $x \ge 3$.
Из второго неравенства получаем $x \le -1$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-3.5, 2)$ и $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
Пересекая интервал $(-3.5, 2)$ с объединением $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$, находим общие точки.
Пересечение с $(-\infty, -1]$ дает полуинтервал $(-3.5, -1]$.
Пересечение с $[3, \infty)$ является пустым множеством.
Следовательно, решение системы: $x \in (-3.5, -1]$.

Ответ: $x \in (-3.5, -1]$.