Номер 23.30, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.30. Из населенных пунктов $A$ и $B$, длина пути между которыми по шоссе 75 км, отправились одновременно навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль и встретились через полчаса. Автобус прибыл в пункт $B$ на 25 мин позже, чем легковой автомобиль в пункт $A$. Найдите скорости автобуса и автомобиля.

Пусть $v_a$ км/ч — скорость автобуса, а $v_л$ км/ч — скорость легкового автомобиля. Расстояние между пунктами А и В составляет $S = 75$ км.

Автобус и легковой автомобиль движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна $v_a + v_л$. Они встретились через 30 минут, что составляет $0.5$ часа. За это время они вместе преодолели все расстояние $S$. Составим первое уравнение:

$(v_a + v_л) \cdot 0.5 = 75$

Умножим обе части на 2:

$v_a + v_л = 150$

Выразим скорость легкового автомобиля: $v_л = 150 - v_a$.

Автобус проехал весь путь из А в В за время $t_a = \frac{75}{v_a}$ часов. Легковой автомобиль проехал весь путь из В в А за время $t_л = \frac{75}{v_л}$ часов.

По условию, автобус прибыл в пункт В на 25 минут позже, чем легковой автомобиль в пункт А. Переведем 25 минут в часы: $25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$.

Это означает, что $t_a - t_л = \frac{5}{12}$. Составим второе уравнение:

$\frac{75}{v_a} - \frac{75}{v_л} = \frac{5}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_a + v_л = 150 \\ \frac{75}{v_a} - \frac{75}{v_л} = \frac{5}{12} \end{cases}$

Подставим выражение для $v_л$ из первого уравнения во второе:

$\frac{75}{v_a} - \frac{75}{150 - v_a} = \frac{5}{12}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{15}{v_a} - \frac{15}{150 - v_a} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{15(150 - v_a) - 15v_a}{v_a(150 - v_a)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2250 - 15v_a - 15v_a}{150v_a - v_a^2} = \frac{1}{12}$

$\frac{2250 - 30v_a}{150v_a - v_a^2} = \frac{1}{12}$

Используем правило пропорции:

$12(2250 - 30v_a) = 1(150v_a - v_a^2)$

$27000 - 360v_a = 150v_a - v_a^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$v_a^2 - 150v_a - 360v_a + 27000 = 0$

$v_a^2 - 510v_a + 27000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-510)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27000 = 260100 - 108000 = 152100$

$\sqrt{D} = \sqrt{152100} = 390$

Найдем корни уравнения для $v_a$:

$v_{a1} = \frac{-(-510) - 390}{2 \cdot 1} = \frac{510 - 390}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_{a2} = \frac{-(-510) + 390}{2 \cdot 1} = \frac{510 + 390}{2} = \frac{900}{2} = 450$

Рассмотрим оба варианта:

1. Если скорость автобуса $v_a = 60$ км/ч, то скорость легкового автомобиля $v_л = 150 - 60 = 90$ км/ч. Этот вариант является реалистичным.

2. Если скорость автобуса $v_a = 450$ км/ч, то скорость легкового автомобиля $v_л = 150 - 450 = -300$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, скорость автобуса составляет 60 км/ч, а скорость легкового автомобиля — 90 км/ч.

Проверим: время автобуса $t_a = 75/60 = 1.25$ ч = 75 мин. Время автомобиля $t_л = 75/90 = 5/6$ ч = 50 мин. Разница во времени $75 - 50 = 25$ мин, что соответствует условию.

Ответ: скорость автобуса 60 км/ч, скорость легкового автомобиля 90 км/ч.