Номер 23.26, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.26. Докажите тождество:

1) $ \text{ctg}^3 \alpha \cdot \text{tg} \alpha + \text{tg}^3 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha + 2 = (\text{tg}(\pi + \alpha) + \text{ctg}(2\pi + \alpha))^2; $

2) $ \text{sin}^3 \alpha \cdot (1 + \text{tg} \alpha) + \text{cos}^3 \alpha \cdot (1 + \text{ctg} \alpha) = \text{sin}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) + \text{cos}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right); $

3) $ \text{ctg}^2 (3\pi + \beta) + \text{sin}\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) \cdot \frac{1}{\text{cos} \beta} = \frac{1}{\text{sin}^2 \beta}. $

1) Для доказательства тождества преобразуем обе его части.

Сначала упростим левую часть:

$ \text{ctg}^3\alpha \cdot \text{tg}\alpha + \text{tg}^3\alpha \cdot \text{ctg}\alpha + 2 $

Используя тождество $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $, получаем:

$ \text{ctg}^2\alpha \cdot (\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha) + \text{tg}^2\alpha \cdot (\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha) + 2 = \text{ctg}^2\alpha \cdot 1 + \text{tg}^2\alpha \cdot 1 + 2 = \text{ctg}^2\alpha + \text{tg}^2\alpha + 2 $.

Теперь упростим правую часть, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций:

$ (\text{tg}(\pi + \alpha) + \text{ctg}(2\pi + \alpha))^2 $

Поскольку $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}\alpha $ и $ \text{ctg}(2\pi + \alpha) = \text{ctg}\alpha $, выражение принимает вид:

$ (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 $

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

$ (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 = \text{tg}^2\alpha + 2 \cdot \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha + \text{ctg}^2\alpha $

Снова используя $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $, получаем:

$ \text{tg}^2\alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2\alpha = \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha + 2 $.

Левая часть равна $ \text{ctg}^2\alpha + \text{tg}^2\alpha + 2 $, и правая часть равна $ \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha + 2 $.

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем обе его части. Вероятно, в условии левой части имеется опечатка, и она должна выглядеть как $ \sin^3\alpha(1+\text{ctg}\alpha) + \cos^3\alpha(1+\text{tg}\alpha) $. Докажем тождество для этого исправленного выражения.

Упростим левую часть:

$ \sin^3\alpha(1+\text{ctg}\alpha) + \cos^3\alpha(1+\text{tg}\alpha) $

Заменим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \sin^3\alpha \left(1 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) + \cos^3\alpha \left(1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right) = \sin^3\alpha \left(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}\right) + \cos^3\alpha \left(\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha}\right) $

Сократим $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $:

$ \sin^2\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) + \cos^2\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) $

Вынесем общий множитель $ (\sin\alpha + \cos\alpha) $ за скобки:

$ (\sin\alpha + \cos\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:

$ (\sin\alpha + \cos\alpha) \cdot 1 = \sin\alpha + \cos\alpha $.

Теперь упростим правую часть, используя формулы приведения:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha $

$ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha $

Следовательно, правая часть равна:

$ \cos\alpha + \sin\alpha $.

Левая часть равна $ \sin\alpha + \cos\alpha $, и правая часть равна $ \sin\alpha + \cos\alpha $.

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано (с учётом исправления опечатки в условии).

3) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

$ \text{ctg}^2(3\pi + \beta) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) \cdot \frac{1}{\cos\beta} $

Используем формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

Для первого слагаемого, учитывая, что период котангенса равен $ \pi $, имеем:

$ \text{ctg}(3\pi + \beta) = \text{ctg}(\pi + \beta) = \text{ctg}\beta $.

Следовательно, $ \text{ctg}^2(3\pi + \beta) = \text{ctg}^2\beta $.

Для второго слагаемого используем формулу приведения:

$ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \cos\beta $.

Подставим упрощенные выражения в левую часть:

$ \text{ctg}^2\beta + \cos\beta \cdot \frac{1}{\cos\beta} $

При условии, что $ \cos\beta \neq 0 $, второе слагаемое равно 1:

$ \text{ctg}^2\beta + 1 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 + \text{ctg}^2\beta = \frac{1}{\sin^2\beta} $.

Таким образом, левая часть равна $ \frac{1}{\sin^2\beta} $.

Правая часть тождества также равна $ \frac{1}{\sin^2\beta} $.

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.