Номер 23.20, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.20. Упростите выражение:

1) $\frac{(1 - \cos(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\sin(\pi - \alpha)};$

2) $\frac{(1 + \sin(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\cos(\pi - \alpha)};$

3) $\frac{\operatorname{tg}(\pi - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)};$

4) $\frac{\operatorname{ctg}(\pi + \alpha) \cdot \sin(\pi + \alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}.$

1) Исходное выражение: $\frac{(1 - \cos(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\sin(\pi - \alpha)}$. Воспользуемся формулами приведения: $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$, так как косинус является четной функцией с периодом $2\pi$; $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$ из-за периодичности косинуса; и $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Подставив эти значения, получим: $\frac{(1 - \cos(\alpha)) \cdot (1 + \cos(\alpha))}{\sin(\alpha)}$. В числителе применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $\frac{1 - \cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$. Выражение принимает вид: $\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. После сокращения на $\sin(\alpha)$ (при условии, что $\sin(\alpha) \ne 0$) получаем $\sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)$.

2) Исходное выражение: $\frac{(1 + \sin(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\cos(\pi - \alpha)}$. Применим формулы приведения: $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$, так как синус является нечетной функцией; $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$; и $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Подставив эти значения, получим: $\frac{(1 + (-\sin(\alpha))) \cdot (1 + \cos(\alpha))}{-\cos(\alpha)} = \frac{(1 - \sin(\alpha)) \cdot (1 + \cos(\alpha))}{-\cos(\alpha)}$. Данное выражение не упрощается до более простого вида с помощью стандартных тождеств.
Ответ: $-\frac{(1 - \sin(\alpha))(1 + \cos(\alpha))}{\cos(\alpha)}$.

3) Исходное выражение: $\frac{\tg(\pi - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$. Используем формулы приведения: $\tg(\pi - \alpha) = -\tg(\alpha)$; $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$; и $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$. Подставим упрощенные функции в выражение: $\frac{-\tg(\alpha) \cdot (-\cos(\alpha))}{\cos(\alpha)}$. Упростим числитель, так как произведение двух отрицательных чисел положительно: $\frac{\tg(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Сократим дробь на $\cos(\alpha)$ (при условии, что $\cos(\alpha) \ne 0$): $\tg(\alpha)$.
Ответ: $\tg(\alpha)$.

4) Исходное выражение: $\frac{\text{ctg}(\pi + \alpha) \cdot \sin(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}$. Применим формулы приведения: $\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}(\alpha)$, так как период котангенса равен $\pi$; $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$; и $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Подставим полученные значения в дробь: $\frac{\text{ctg}(\alpha) \cdot (-\sin(\alpha))}{-\cos(\alpha)}$. Сократим знаки минус в числителе и знаменателе: $\frac{\text{ctg}(\alpha) \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Заменим котангенс, используя определение $\text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$: $\frac{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. В числителе сокращается $\sin(\alpha)$, и выражение принимает вид: $\frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Сократив дробь (при условии, что $\cos(\alpha) \ne 0$ и $\sin(\alpha) \ne 0$), получаем 1.
Ответ: $1$.