Номер 23.17, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.17. Докажите, что верна формула:

1) $sin(45^\circ + \alpha) = cos(45^\circ - \alpha);$

2) $cos(45^\circ + \alpha) = sin(45^\circ - \alpha);$

3) $tg(45^\circ + \alpha) = ctg(45^\circ - \alpha);$

4) $ctg(45^\circ + \alpha) = tg(45^\circ - \alpha);$

5) $sin(60^\circ - \alpha) = cos(30^\circ + \alpha);$

6) $ctg(80^\circ - \alpha) = tg(10^\circ - \alpha).$

Для доказательства данных формул будем использовать формулы приведения, которые связывают тригонометрические функции углов вида $90° \pm \alpha$ или $180° \pm \alpha$ с функциями угла $\alpha$. В данном случае наиболее полезными будут формулы для угла $90° - \beta$:

$sin(90° - \beta) = cos(\beta)$

$cos(90° - \beta) = sin(\beta)$

$tg(90° - \beta) = ctg(\beta)$

$ctg(90° - \beta) = tg(\beta)$

1) sin(45° + α) = cos(45° - α)

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения $cos(\beta) = sin(90° - \beta)$. Пусть $\beta = 45° - \alpha$.

$cos(45° - \alpha) = sin(90° - (45° - \alpha)) = sin(90° - 45° + \alpha) = sin(45° + \alpha)$.

Правая часть равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) cos(45° + α) = sin(45° - α)

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу приведения $cos(\beta) = sin(90° - \beta)$. Пусть $\beta = 45° + \alpha$.

$cos(45° + \alpha) = sin(90° - (45° + \alpha)) = sin(90° - 45° - \alpha) = sin(45° - \alpha)$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

3) tg(45° + α) = ctg(45° - α)

Преобразуем правую часть равенства, используя формулу приведения $ctg(\beta) = tg(90° - \beta)$. Пусть $\beta = 45° - \alpha$.

$ctg(45° - \alpha) = tg(90° - (45° - \alpha)) = tg(90° - 45° + \alpha) = tg(45° + \alpha)$.

Правая часть равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

4) ctg(45° + α) = tg(45° - α)

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу приведения $ctg(\beta) = tg(90° - \beta)$. Пусть $\beta = 45° + \alpha$.

$ctg(45° + \alpha) = tg(90° - (45° + \alpha)) = tg(90° - 45° - \alpha) = tg(45° - \alpha)$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

5) sin(60° - α) = cos(30° + α)

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу приведения $sin(\beta) = cos(90° - \beta)$. Пусть $\beta = 60° - \alpha$.

$sin(60° - \alpha) = cos(90° - (60° - \alpha)) = cos(90° - 60° + \alpha) = cos(30° + \alpha)$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

6) ctg(80° - α) = tg(10° - α)

В условии этого пункта, вероятно, допущена опечатка. Проверим исходное равенство. Преобразуем левую часть по формуле приведения $ctg(\beta) = tg(90° - \beta)$, где $\beta = 80° - \alpha$.

$ctg(80° - \alpha) = tg(90° - (80° - \alpha)) = tg(90° - 80° + \alpha) = tg(10° + \alpha)$.

Исходное равенство превращается в $tg(10° + \alpha) = tg(10° - \alpha)$. Это равенство верно, только если $(10° + \alpha) - (10° - \alpha) = 180°k$ (где $k$ – целое число), то есть $2\alpha = 180°k$ или $\alpha = 90°k$. Поскольку это верно не для всех $\alpha$, исходная формула не является тождеством.

Скорее всего, правильная формула должна выглядеть так: $ctg(80° - \alpha) = tg(10° + \alpha)$. Докажем ее.

Как мы уже показали, левая часть равна:

$ctg(80° - \alpha) = tg(90° - (80° - \alpha)) = tg(10° + \alpha)$.

Таким образом, $tg(10° + \alpha) = tg(10° + \alpha)$.

Ответ: Формула в задании, скорее всего, содержит опечатку. Верная формула $ctg(80° - \alpha) = tg(10° + \alpha)$ доказана.