Номер 23.22, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.22. Вычислите значение выражения:

1) $ \sin 135^\circ \cdot \cos 210^\circ \cdot \operatorname{tg} 405^\circ \cdot \operatorname{ctg} 330^\circ; $

2) $ \sin 225^\circ \cdot \cos 150^\circ \cdot \operatorname{ctg} 420^\circ \cdot \operatorname{tg} 300^\circ; $

3) $ \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \operatorname{tg} \frac{7\pi}{4} \cdot \operatorname{ctg} \frac{13\pi}{6}; $

4) $ \sin \frac{4\pi}{3} \cdot \cos \frac{5\pi}{6} \cdot \operatorname{tg} \frac{11\pi}{4} \cdot \operatorname{ctg} \frac{19\pi}{3}. $

1) Вычислим значение выражения $sin135^\circ \cdot cos210^\circ \cdot tg405^\circ \cdot ctg330^\circ$.
Для этого найдем значение каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения и периодичность.
$sin135^\circ = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos210^\circ = cos(180^\circ + 30^\circ) = -cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$tg405^\circ = tg(360^\circ + 45^\circ) = tg45^\circ = 1$
$ctg330^\circ = ctg(360^\circ - 30^\circ) = -ctg30^\circ = -\sqrt{3}$
Теперь перемножим полученные значения:
$sin135^\circ \cdot cos210^\circ \cdot tg405^\circ \cdot ctg330^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2} \cdot 3}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

2) Вычислим значение выражения $sin225^\circ \cdot cos150^\circ \cdot ctg420^\circ \cdot tg300^\circ$.
Найдем значение каждой функции:
$sin225^\circ = sin(180^\circ + 45^\circ) = -sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$cos150^\circ = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$ctg420^\circ = ctg(360^\circ + 60^\circ) = ctg60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$tg300^\circ = tg(360^\circ - 60^\circ) = -tg60^\circ = -\sqrt{3}$
Перемножим полученные значения:
$sin225^\circ \cdot cos150^\circ \cdot ctg420^\circ \cdot tg300^\circ = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{4} \cdot (\frac{\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3})}{3}) = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot (\frac{-3}{3}) = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{6}}{4}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{4}$

3) Вычислим значение выражения $sin\frac{\pi}{3} \cdot cos\frac{2\pi}{3} \cdot tg\frac{7\pi}{4} \cdot ctg\frac{13\pi}{6}$.
Найдем значение каждой функции, используя формулы приведения и периодичность для углов в радианах.
$sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos\frac{2\pi}{3} = cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$
$tg\frac{7\pi}{4} = tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -tg\frac{\pi}{4} = -1$
$ctg\frac{13\pi}{6} = ctg(2\pi + \frac{\pi}{6}) = ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$
Перемножим полученные значения:
$sin\frac{\pi}{3} \cdot cos\frac{2\pi}{3} \cdot tg\frac{7\pi}{4} \cdot ctg\frac{13\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-1) \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

4) Вычислим значение выражения $sin\frac{4\pi}{3} \cdot cos\frac{5\pi}{6} \cdot tg\frac{11\pi}{4} \cdot ctg\frac{19\pi}{3}$.
Найдем значение каждой функции:
$sin\frac{4\pi}{3} = sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos\frac{5\pi}{6} = cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$tg\frac{11\pi}{4} = tg(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = tg\frac{3\pi}{4} = tg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -tg\frac{\pi}{4} = -1$
$ctg\frac{19\pi}{3} = ctg(6\pi + \frac{\pi}{3}) = ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Перемножим полученные значения:
$sin\frac{4\pi}{3} \cdot cos\frac{5\pi}{6} \cdot tg\frac{11\pi}{4} \cdot ctg\frac{19\pi}{3} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{4} \cdot (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{4}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{4}$