Номер 23.23, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.23. Докажите, что если $A, B, C$ — углы треугольника, то верно равенство:

1) $\sin(A + B) = \sin C$;

2) $\sin \frac{A + B}{2} = \cos \frac{C}{2}$;

3) $\cos(A + B) = -\cos C$;

4) $\operatorname{tg} \frac{A + B}{2} = \operatorname{ctg} \frac{C}{2}$.

Поскольку A, B и C — углы треугольника, то их сумма составляет $180^\circ$ или $\pi$ радиан: $A + B + C = \pi$. Это основное соотношение, которое будет использоваться во всех доказательствах.

1) Докажем, что $\sin(A + B) = \sin C$.

Из основного соотношения выразим сумму углов $A + B$: $A + B = \pi - C$.
Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства:
$\sin(A + B) = \sin(\pi - C)$.
Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:
$\sin(\pi - C) = \sin C$.
Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\sin(A + B) = \sin C$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем, что $\sin\frac{A + B}{2} = \cos\frac{C}{2}$.

Разделим основное соотношение $A + B + C = \pi$ на 2: $\frac{A+B+C}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Отсюда можно выразить половину суммы углов A и B: $\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
Подставим это выражение в левую часть доказываемого равенства:
$\sin\frac{A + B}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2})$.
Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$, получаем:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cos\frac{C}{2}$.
Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\sin\frac{A + B}{2} = \cos\frac{C}{2}$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

3) Докажем, что $\cos(A + B) = -\cos C$.

Снова используем соотношение $A + B = \pi - C$.
Подставим его в левую часть доказываемого равенства:
$\cos(A + B) = \cos(\pi - C)$.
Используя формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$, получаем:
$\cos(\pi - C) = -\cos C$.
Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\cos(A + B) = -\cos C$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

4) Докажем, что $\text{tg}\frac{A + B}{2} = \text{ctg}\frac{C}{2}$.

Как и в пункте 2, используем соотношение $\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
Подставим его в левую часть доказываемого равенства:
$\text{tg}\frac{A + B}{2} = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2})$.
Используя формулу приведения $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}\alpha$, получаем:
$\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \text{ctg}\frac{C}{2}$.
Таким образом, левая часть равенства равна правой: $\text{tg}\frac{A + B}{2} = \text{ctg}\frac{C}{2}$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.