Номер 23.21, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.21. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^2 (\pi + \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 1;$

2) $\frac{\sin^2 (\pi + \alpha)}{1 - \cos \alpha} - \cos(2\pi - \alpha) = 1;$

3) $\frac{\cos^2 (2\pi - \alpha)}{1 + \sin(-\alpha)} + \cos \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = 1;$

4) $\frac{\sin^2 (3\pi - \alpha)}{1 - \cos(-\alpha)} + \cos(5\pi - \alpha) = 1.$

1) Преобразуем левую часть тождества, используя формулы приведения и основные тригонометрические тождества.
Применим формулы приведения:
$ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha $, поэтому $ \cos^2(\pi + \alpha) = (-\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha $.
$ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha $.
Подставим эти выражения в левую часть исходного тождества:
$ \frac{\cos^2(\pi + \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, из которого следует, что $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $:
$ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Сократим дробь на $ (1 - \sin \alpha) $ (при условии, что $ 1 - \sin \alpha \neq 0 $):
$ (1 + \sin \alpha) - \sin \alpha = 1 + \sin \alpha - \sin \alpha = 1 $.
Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества.
Применим формулы приведения:
$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha $, поэтому $ \sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin \alpha)^2 = \sin^2 \alpha $.
$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha $.
Подставим полученные выражения в левую часть:
$ \frac{\sin^2(\pi + \alpha)}{1 - \cos \alpha} - \cos(2\pi - \alpha) = \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $:
$ \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Применим формулу разности квадратов к числителю:
$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Сократим дробь на $ (1 - \cos \alpha) $ (при условии, что $ 1 - \cos \alpha \neq 0 $):
$ (1 + \cos \alpha) - \cos \alpha = 1 + \cos \alpha - \cos \alpha = 1 $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества.
Используем формулы приведения и свойство нечетности синуса:
$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha $, поэтому $ \cos^2(2\pi - \alpha) = \cos^2 \alpha $.
$ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $ (синус — нечетная функция).
$ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha $.
Подставим эти выражения в левую часть тождества:
$ \frac{\cos^2(2\pi - \alpha)}{1 + \sin(-\alpha)} + \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $:
$ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Разложим числитель на множители:
$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin \alpha} - \sin \alpha $.
Сократим дробь:
$ (1 + \sin \alpha) - \sin \alpha = 1 $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества.
Используем формулы приведения, учитывая периодичность тригонометрических функций, и свойство четности косинуса:
$ \sin(3\pi - \alpha) = \sin(2\pi + \pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $, поэтому $ \sin^2(3\pi - \alpha) = \sin^2 \alpha $.
$ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $ (косинус — четная функция).
$ \cos(5\pi - \alpha) = \cos(4\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $.
Подставим преобразованные выражения в левую часть:
$ \frac{\sin^2(3\pi - \alpha)}{1 - \cos(-\alpha)} + \cos(5\pi - \alpha) = \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Используем тождество $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $:
$ \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 - \cos \alpha} - \cos \alpha $.
Сократим дробь:
$ (1 + \cos \alpha) - \cos \alpha = 1 $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.