Номер 23.14, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.14. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\mathrm{tg} \frac{5 \pi}{3} \cdot \mathrm{cos} \frac{\pi}{3}}{\mathrm{sin} 30^\circ}$;

2) $\frac{\mathrm{ctg} 135^\circ \cdot \mathrm{sin} 225^\circ}{\mathrm{cos} \frac{\pi}{3}}$;

3) $\frac{\mathrm{tg} 315^\circ \cdot \mathrm{sin} 135^\circ}{\mathrm{cos}^2 \frac{\pi}{6}}$;

4) $\frac{\mathrm{tg} 315^\circ \cdot \mathrm{sin} 135^\circ}{\mathrm{cos}^2 \frac{\pi}{6}}$.

1) Решим выражение $ \frac{\text{tg}\frac{5\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{3}}{\sin30^{\circ}} $.

Сначала найдем значения для каждой тригонометрической функции в выражении.

Значение тангенса: $ \text{tg}\frac{5\pi}{3} = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $.

Значение косинуса: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.

Значение синуса: $ \sin30^{\circ} = \frac{1}{2} $.

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$ \frac{-\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} $.

Ответ: $ -\sqrt{3} $

2) Решим выражение $ \frac{\text{ctg}135^{\circ} \cdot \sin225^{\circ}}{\cos\frac{\pi}{3}} $.

Найдем значения для каждой тригонометрической функции.

Значение котангенса: $ \text{ctg}135^{\circ} = \text{ctg}(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\text{ctg}45^{\circ} = -1 $.

Значение синуса: $ \sin225^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\sin45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Значение косинуса: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \frac{-1 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $.

Ответ: $ \sqrt{2} $

3) Решим выражение $ \frac{\text{tg}315^{\circ} \cdot \sin135^{\circ}}{\cos^2\frac{\pi}{6}} $.

Найдем значения для каждой тригонометрической функции.

Значение тангенса: $ \text{tg}315^{\circ} = \text{tg}(360^{\circ} - 45^{\circ}) = -\text{tg}45^{\circ} = -1 $.

Значение синуса: $ \sin135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Значение косинуса в квадрате: $ \cos^2\frac{\pi}{6} = (\cos30^{\circ})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \frac{-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{6} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{2\sqrt{2}}{3} $

4) Решим выражение $ \frac{\text{tg}315^{\circ} \cdot \sin135^{\circ}}{\cos^2\frac{\pi}{6}} $.

Это выражение идентично выражению из пункта 3. Следовательно, решение и ответ будут такими же.

Найдем значения для каждой тригонометрической функции.

Значение тангенса: $ \text{tg}315^{\circ} = \text{tg}(360^{\circ} - 45^{\circ}) = -\text{tg}45^{\circ} = -1 $.

Значение синуса: $ \sin135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Значение косинуса в квадрате: $ \cos^2\frac{\pi}{6} = (\cos30^{\circ})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \frac{-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{6} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{2\sqrt{2}}{3} $