Страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

4.12. 1) Одновременно из города А в одном и том же направлении выехали две машины со скоростями 80 км/ч и 100 км/ч. Спустя 1 ч в том же направлении из города А выехал легковой автомобиль, который догнал вторую машину через 3 ч после того, как догнал первую машину. Найдите скорость легкового автомобиля.

2) Из пункта А в пункт В выехал грузовик. Через час из пункта А выехал легковой автомобиль. Через 2 ч после выезда он догнал грузовик и прибыл в пункт В на 3 ч раньше грузовика. Сколько времени ехал грузовик от пункта А до пункта В?

1)

Пусть $v$ (в км/ч) — искомая скорость легкового автомобиля, а $t$ (в часах) — время, которое ехал легковой автомобиль до того, как догнал первую машину (со скоростью 80 км/ч).
Первая и вторая машины выехали из города А на 1 час раньше легкового автомобиля.
Когда легковой автомобиль догнал первую машину, он проехал расстояние $v \cdot t$. Первая машина к этому моменту была в пути $t + 1$ час и проехала расстояние $80 \cdot (t + 1)$. Так как они встретились, их пути равны:
$v \cdot t = 80(t + 1)$ (1)
Легковой автомобиль догнал вторую машину (со скоростью 100 км/ч) через 3 часа после того, как догнал первую. Это значит, что с момента своего выезда легковой автомобиль ехал $t + 3$ часа. Вторая машина к этому моменту была в пути $(t + 3) + 1 = t + 4$ часа. Расстояния, которые они проехали до точки второй встречи, равны:
$v \cdot (t + 3) = 100(t + 4)$ (2)
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} vt = 80(t + 1) \\ v(t + 3) = 100(t + 4) \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $v$:
$v = \frac{80(t + 1)}{t}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{80(t + 1)}{t} \cdot (t + 3) = 100(t + 4)$
Разделим обе части уравнения на 20:
$4(t + 1)(t + 3) = 5t(t + 4)$
Раскроем скобки:
$4(t^2 + 4t + 3) = 5t^2 + 20t$
$4t^2 + 16t + 12 = 5t^2 + 20t$
$t^2 + 4t - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.
$t_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$t_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Время не может быть отрицательным, поэтому $t = 2$ часа.
Теперь найдем скорость легкового автомобиля, подставив $t=2$ в выражение для $v$:
$v = \frac{80(2 + 1)}{2} = \frac{80 \cdot 3}{2} = 120$ км/ч.

Ответ: 120 км/ч.

2)

Пусть $t_{гр}$ (в часах) — время, которое ехал грузовик от пункта А до пункта В, а $v_{гр}$ — его скорость.
Пусть $t_{л}$ (в часах) — время в пути легкового автомобиля, а $v_{л}$ — его скорость.
Расстояние от А до В обозначим как $S$. Тогда $S = v_{гр} \cdot t_{гр} = v_{л} \cdot t_{л}$.
По условию, легковой автомобиль выехал на 1 час позже грузовика, а прибыл в пункт В на 3 часа раньше. Следовательно, время в пути легкового автомобиля на $1 + 3 = 4$ часа меньше, чем время в пути грузовика:
$t_{л} = t_{гр} - 4$ (1)
Легковой автомобиль догнал грузовик через 2 часа после своего выезда. За эти 2 часа легковой автомобиль проехал расстояние $2 \cdot v_{л}$.
Грузовик к этому моменту был в пути на 1 час дольше, то есть $2 + 1 = 3$ часа. Он проехал расстояние $3 \cdot v_{гр}$.
В точке встречи пройденные ими расстояния от пункта А равны:
$2v_{л} = 3v_{гр}$, откуда можно выразить одну скорость через другую: $v_{л} = \frac{3}{2}v_{гр}$ (2).
Теперь используем равенство путей за всё время движения от А до В:
$v_{гр} \cdot t_{гр} = v_{л} \cdot t_{л}$
Подставим в это равенство выражения для $t_{л}$ из (1) и для $v_{л}$ из (2):
$v_{гр} \cdot t_{гр} = \left(\frac{3}{2}v_{гр}\right) \cdot (t_{гр} - 4)$
Так как грузовик движется, его скорость $v_{гр} \neq 0$, поэтому мы можем сократить обе части уравнения на $v_{гр}$:
$t_{гр} = \frac{3}{2}(t_{гр} - 4)$
$t_{гр} = 1.5 \cdot t_{гр} - 6$
$6 = 1.5 \cdot t_{гр} - t_{гр}$
$6 = 0.5 \cdot t_{гр}$
$t_{гр} = \frac{6}{0.5} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

4.13. 1) От пристани А в одном и том же направлении отплыли плот и катер. Пройдя 90 км пути катер повернул обратно и прибыл на эту же пристань, затратив на весь путь 12,5 ч. На обратном пути он встретил плот в 30 км пути от пристани. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера.

2) От пристани А вниз по течению реки отплыли плот и катер. Пройдя 96 км пути катер повернул обратно и вернулся в пристань А, затратив на весь путь 14 ч. На обратном пути он встретил плот в 24 км пути от пристани. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера.

1)

Пусть $v_к$ — собственная скорость катера (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч). Скорость плота равна скорости течения, так как у плота нет собственного двигателя.

Катер и плот отплыли в одном направлении, то есть по течению реки. Скорость катера по течению составляет $v_к + v_т$, а скорость против течения — $v_к - v_т$.

Катер прошел 90 км по течению, развернулся и прошел 90 км против течения, вернувшись на пристань А. На весь путь он затратил 12,5 часов. Это можно записать в виде уравнения:

$t_{общ} = t_{по} + t_{прот} = \frac{90}{v_к + v_т} + \frac{90}{v_к - v_т} = 12.5$

На обратном пути катер встретил плот на расстоянии 30 км от пристани А. Это означает, что к моменту встречи плот, двигаясь со скоростью течения $v_т$, проплыл 30 км. Время движения плота до встречи составляет:

$t_{встречи} = \frac{30}{v_т}$

За это же время катер прошел 90 км по течению и часть обратного пути, равную $90 - 30 = 60$ км, против течения. Время движения катера до момента встречи:

$t_{встречи} = \frac{90}{v_к + v_т} + \frac{60}{v_к - v_т}$

Так как время до встречи у них одинаковое, мы можем приравнять эти два выражения:

$\frac{30}{v_т} = \frac{90}{v_к + v_т} + \frac{60}{v_к - v_т}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{90}{v_к + v_т} + \frac{90}{v_к - v_т} = 12.5 \\ \frac{30}{v_т} = \frac{90}{v_к + v_т} + \frac{60}{v_к - v_т} \end{cases}$

Давайте решим второе уравнение, чтобы найти соотношение между $v_к$ и $v_т$. Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{30}{v_т} = \frac{90(v_к - v_т) + 60(v_к + v_т)}{(v_к + v_т)(v_к - v_т)}$

$\frac{30}{v_т} = \frac{90v_к - 90v_т + 60v_к + 60v_т}{v_к^2 - v_т^2}$

$\frac{30}{v_т} = \frac{150v_к - 30v_т}{v_к^2 - v_т^2}$

$30(v_к^2 - v_т^2) = v_т(150v_к - 30v_т)$

$30v_к^2 - 30v_т^2 = 150v_кv_т - 30v_т^2$

$30v_к^2 = 150v_кv_т$

Поскольку скорость катера $v_к$ не может быть равна нулю, разделим обе части на $30v_к$:

$v_к = 5v_т$

Теперь подставим это соотношение в первое уравнение системы:

$\frac{90}{5v_т + v_т} + \frac{90}{5v_т - v_т} = 12.5$

$\frac{90}{6v_т} + \frac{90}{4v_т} = 12.5$

$\frac{15}{v_т} + \frac{22.5}{v_т} = 12.5$

$\frac{37.5}{v_т} = 12.5$

$v_т = \frac{37.5}{12.5} = 3$ км/ч.

Теперь найдем собственную скорость катера:

$v_к = 5v_т = 5 \cdot 3 = 15$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки 3 км/ч, собственная скорость катера 15 км/ч.

2)

Пусть $v_к$ — собственная скорость катера (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч). Плот движется со скоростью течения $v_т$.

Катер движется по течению со скоростью $v_к + v_т$ и против течения со скоростью $v_к - v_т$.

Катер прошел 96 км по течению и 96 км против течения, вернувшись в пункт А. Общее время в пути составило 14 часов. Составим первое уравнение:

$\frac{96}{v_к + v_т} + \frac{96}{v_к - v_т} = 14$

На обратном пути катер встретил плот в 24 км от пристани А. Это значит, что за время до встречи плот проплыл 24 км. Время движения плота:

$t_{встречи} = \frac{24}{v_т}$

За это же время катер прошел 96 км по течению и $96 - 24 = 72$ км против течения. Время движения катера до встречи:

$t_{встречи} = \frac{96}{v_к + v_т} + \frac{72}{v_к - v_т}$

Приравнивая время, получаем второе уравнение:

$\frac{24}{v_т} = \frac{96}{v_к + v_т} + \frac{72}{v_к - v_т}$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{96}{v_к + v_т} + \frac{96}{v_к - v_т} = 14 \\ \frac{24}{v_т} = \frac{96}{v_к + v_т} + \frac{72}{v_к - v_т} \end{cases}$

Упростим второе уравнение, разделив все его члены на 24:

$\frac{1}{v_т} = \frac{4}{v_к + v_т} + \frac{3}{v_к - v_т}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{v_т} = \frac{4(v_к - v_т) + 3(v_к + v_т)}{(v_к + v_т)(v_к - v_т)}$

$\frac{1}{v_т} = \frac{4v_к - 4v_т + 3v_к + 3v_т}{v_к^2 - v_т^2}$

$\frac{1}{v_т} = \frac{7v_к - v_т}{v_к^2 - v_т^2}$

$v_к^2 - v_т^2 = v_т(7v_к - v_т)$

$v_к^2 - v_т^2 = 7v_кv_т - v_т^2$

$v_к^2 = 7v_кv_т$

Так как $v_к \ne 0$, разделим обе части на $v_к$:

$v_к = 7v_т$

Подставим это соотношение в первое уравнение системы:

$\frac{96}{7v_т + v_т} + \frac{96}{7v_т - v_т} = 14$

$\frac{96}{8v_т} + \frac{96}{6v_т} = 14$

$\frac{12}{v_т} + \frac{16}{v_т} = 14$

$\frac{28}{v_т} = 14$

$v_т = \frac{28}{14} = 2$ км/ч.

Теперь найдем собственную скорость катера:

$v_к = 7v_т = 7 \cdot 2 = 14$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость катера 14 км/ч.

4.14. 1) Имеются два сплава золота и серебра. В первом сплаве массы этих металлов находятся в отношении $2 : 3$, во втором — $3 : 7$. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении $5 : 11$?

2) Сплавили два одинаковых по массе куска чугуна с разным содержанием хрома и получили сплав, в котором находилось 12 кг хрома. Если бы первый кусок был в два раза тяжелее, то в сплаве находилось бы 16 кг хрома. Найдите процентное содержание хрома в каждом куске чугуна, если процентное содержание хрома в первом куске на 5% меньше, чем во втором.

1)

Пусть $x$ кг — масса первого сплава, а $y$ кг — масса второго сплава. По условию, общая масса нового сплава составляет 8 кг, следовательно, мы можем составить первое уравнение: $x + y = 8$

Определим концентрацию (долю) золота в каждом сплаве. В первом сплаве отношение золота к серебру 2 : 3, значит, всего $2 + 3 = 5$ частей. Доля золота в первом сплаве составляет $2/5$. Во втором сплаве отношение золота к серебру 3 : 7, значит, всего $3 + 7 = 10$ частей. Доля золота во втором сплаве составляет $3/10$. Масса золота в $x$ кг первого сплава равна $\frac{2}{5}x$ кг. Масса золота в $y$ кг второго сплава равна $\frac{3}{10}y$ кг.

В новом сплаве массой 8 кг отношение золота к серебру 5 : 11. Всего $5 + 11 = 16$ частей. Масса золота в новом сплаве составляет: $8 \cdot \frac{5}{16} = \frac{40}{16} = 2.5$ кг.

Сложив массу золота из двух первоначальных сплавов, мы получим массу золота в новом сплаве. Составим второе уравнение: $\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y = 2.5$

Получим систему из двух уравнений: $\begin{cases} x + y = 8 \\ \frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y = 2.5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 8 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение. Для удобства сначала умножим второе уравнение на 10, чтобы избавиться от дробей: $10 \cdot (\frac{2}{5}x) + 10 \cdot (\frac{3}{10}y) = 10 \cdot 2.5$ $4x + 3y = 25$ Теперь подставим $y = 8 - x$: $4x + 3(8 - x) = 25$ $4x + 24 - 3x = 25$ $x + 24 = 25$ $x = 1$

Теперь найдем массу второго сплава: $y = 8 - x = 8 - 1 = 7$

Таким образом, для получения нового сплава нужно взять 1 кг первого сплава и 7 кг второго.

Ответ: 1 кг первого сплава и 7 кг второго сплава.

2)

Пусть $m$ — масса каждого из двух кусков чугуна, $p_1$ и $p_2$ — процентное содержание хрома в первом и втором кусках соответственно.

По условию, процентное содержание хрома в первом куске на 5% меньше, чем во втором. Это можно записать как уравнение: $p_1 = p_2 - 5$

Масса хрома в куске равна произведению массы куска на долю хрома в нем. Доля хрома в первом куске — $\frac{p_1}{100}$, во втором — $\frac{p_2}{100}$.

В первом случае, когда сплавили два куска массой $m$ каждый, масса хрома в полученном сплаве составила 12 кг. Составим первое уравнение для массы хрома: $\frac{p_1}{100}m + \frac{p_2}{100}m = 12$ $\frac{m}{100}(p_1 + p_2) = 12$

Во втором случае, если бы первый кусок был в два раза тяжелее (масса $2m$), а масса второго осталась прежней ($m$), то в сплаве находилось бы 16 кг хрома. Составим второе уравнение для массы хрома: $\frac{p_1}{100}(2m) + \frac{p_2}{100}m = 16$ $\frac{m}{100}(2p_1 + p_2) = 16$

Теперь у нас есть система уравнений: $\begin{cases} p_1 = p_2 - 5 \\ \frac{m}{100}(p_1 + p_2) = 12 \\ \frac{m}{100}(2p_1 + p_2) = 16 \end{cases}$

Разделим третье уравнение системы на второе, чтобы исключить неизвестную массу $m$: $\frac{\frac{m}{100}(2p_1 + p_2)}{\frac{m}{100}(p_1 + p_2)} = \frac{16}{12}$ $\frac{2p_1 + p_2}{p_1 + p_2} = \frac{4}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $3(2p_1 + p_2) = 4(p_1 + p_2)$ $6p_1 + 3p_2 = 4p_1 + 4p_2$ $2p_1 = p_2$

Мы получили, что процентное содержание хрома во втором куске в два раза больше, чем в первом. Теперь подставим это соотношение в самое первое уравнение $p_1 = p_2 - 5$: $p_1 = (2p_1) - 5$ $5 = 2p_1 - p_1$ $p_1 = 5$

Следовательно, процентное содержание хрома в первом куске составляет 5%. Найдем содержание хрома во втором куске: $p_2 = 2p_1 = 2 \cdot 5 = 10$ Процентное содержание хрома во втором куске — 10%.

Ответ: процентное содержание хрома в первом куске чугуна — 5%, во втором — 10%.

4.15. 1) Из бака, наполненного глицерином, отлили 8 л. Затем долили бак водой и отлили 6 л смеси. После этого вновь долили бак водой, в результате получили смесь, содержащую 68% глицерина. Найдите вместимость бака.

2) Сосуд вместимостью 40 л наполнен чистым спиртом. Из него отлили некоторое количество спирта и долили водой, затем отлили такое же количество смеси. После этого в сосуде осталось 22,5 л чистого спирта. Сколько литров жидкости отливали каждый раз?

1) Пусть вместимость бака равна $V$ литров. Изначально в баке находится $V$ литров глицерина.
Шаг 1: Отлили 8 л глицерина. В баке осталось $(V - 8)$ л глицерина.
Шаг 2: Долили бак водой до полного объема $V$. Теперь в баке $(V - 8)$ л глицерина, 8 л воды. Концентрация глицерина в смеси стала $C_1 = \frac{V - 8}{V}$.
Шаг 3: Отлили 6 л смеси. Количество глицерина в этих 6 л составляет $6 \times C_1 = 6 \times \frac{V - 8}{V}$. Количество глицерина, оставшегося в баке: $(V - 8) - 6 \frac{V - 8}{V} = (V - 8) \left(1 - \frac{6}{V}\right) = \frac{(V - 8)(V - 6)}{V}$.
Шаг 4: Вновь долили бак водой до полного объема $V$. Количество глицерина не изменилось и составляет $\frac{(V - 8)(V - 6)}{V}$. Общий объем смеси снова равен $V$.
Конечная концентрация глицерина составляет 68%, или 0,68. Составим уравнение, приравняв долю глицерина в конечном растворе к 0,68:
$\frac{\frac{(V - 8)(V - 6)}{V}}{V} = 0,68$
$\frac{(V - 8)(V - 6)}{V^2} = 0,68$
$V^2 - 14V + 48 = 0,68V^2$
$0,32V^2 - 14V + 48 = 0$
Умножим уравнение на 100, чтобы избавиться от дробей: $32V^2 - 1400V + 4800 = 0$.
Разделим на 8 для упрощения: $4V^2 - 175V + 600 = 0$.
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-175)^2 - 4 \times 4 \times 600 = 30625 - 9600 = 21025$
$\sqrt{D} = \sqrt{21025} = 145$
$V_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{175 \pm 145}{8}$
$V_1 = \frac{175 + 145}{8} = \frac{320}{8} = 40$
$V_2 = \frac{175 - 145}{8} = \frac{30}{8} = 3,75$
По условию из бака отлили 8 л, значит его вместимость $V$ должна быть больше 8. Корень $V_2 = 3,75$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, вместимость бака равна 40 л.
Ответ: 40 л.

2) Вместимость сосуда известна: $V = 40$ л. Пусть каждый раз отливали $x$ литров жидкости.
Шаг 1: Из полного сосуда со спиртом отлили $x$ л спирта. В сосуде осталось $(40 - x)$ л спирта. Затем сосуд долили водой до 40 л. Концентрация спирта в получившейся смеси стала $C_1 = \frac{40 - x}{40}$.
Шаг 2: Из сосуда отлили $x$ л смеси. Количество спирта в этой порции смеси составляет $x \times C_1 = x \times \frac{40 - x}{40}$.
Количество спирта, оставшегося в сосуде после второго отливания, равно начальному количеству спирта в смеси минус количество отлитого спирта:
$(40 - x) - x \frac{40 - x}{40} = (40 - x) \left(1 - \frac{x}{40}\right) = \frac{(40 - x)(40 - x)}{40} = \frac{(40 - x)^2}{40}$.
По условию, в сосуде осталось 22,5 л чистого спирта. Составим уравнение:
$\frac{(40 - x)^2}{40} = 22,5$
$(40 - x)^2 = 22,5 \times 40$
$(40 - x)^2 = 900$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$40 - x = \pm \sqrt{900}$
$40 - x = \pm 30$
Получаем два возможных решения:
1) $40 - x = 30 \implies x = 40 - 30 = 10$
2) $40 - x = -30 \implies x = 40 + 30 = 70$
Поскольку объем сосуда составляет 40 л, нельзя отлить 70 л жидкости ($x < 40$). Поэтому второй корень не является решением задачи. Единственное подходящее решение $x = 10$.
Ответ: 10 л.

23.9. Найдите знак значения выражения:

1) $ \sin135^\circ \cdot \cos210^\circ \cdot \mathrm{tg}405^\circ \cdot \mathrm{ctg}330^\circ \cdot \cos560^\circ; $

2) $ \sin425^\circ \cdot \cos250^\circ \cdot \mathrm{ctg}420^\circ \cdot \mathrm{tg}330^\circ \cdot \sin750^\circ; $

3) $ \sin\frac{7\pi}{3} \cdot \cos\frac{2\pi}{3} \cdot \mathrm{tg}\frac{9\pi}{4} \cdot \mathrm{ctg}\frac{13\pi}{6} \cdot \cos\frac{7\pi}{4}; $

4) $ \sin\frac{5\pi}{3} \cdot \cos\frac{7\pi}{6} \cdot \mathrm{tg}\frac{11\pi}{4} \cdot \mathrm{ctg}\frac{8\pi}{3} \cdot \sin\frac{11\pi}{6}. $

1) $sin135^\circ \cdot cos210^\circ \cdot tg405^\circ \cdot ctg330^\circ \cdot cos560^\circ$
Для определения знака всего выражения, найдем знак каждого множителя по отдельности, определив, в какой четверти находится угол.
$sin135^\circ$: угол $135^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$), синус во II четверти положителен. $sin135^\circ > 0$.
$cos210^\circ$: угол $210^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$), косинус в III четверти отрицателен. $cos210^\circ < 0$.
$tg405^\circ$: используя периодичность тангенса ($360^\circ$), $tg405^\circ = tg(360^\circ + 45^\circ) = tg45^\circ$. Угол $45^\circ$ находится в I четверти, тангенс в I четверти положителен. $tg405^\circ > 0$.
$ctg330^\circ$: угол $330^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 330^\circ < 360^\circ$), котангенс в IV четверти отрицателен. $ctg330^\circ < 0$.
$cos560^\circ$: используя периодичность косинуса ($360^\circ$), $cos560^\circ = cos(360^\circ + 200^\circ) = cos200^\circ$. Угол $200^\circ$ находится в III четверти, косинус в III четверти отрицателен. $cos560^\circ < 0$.
Произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: минус.

2) $sin425^\circ \cdot cos250^\circ \cdot ctg420^\circ \cdot tg330^\circ \cdot sin750^\circ$
Определим знак каждого множителя.
$sin425^\circ$: $sin425^\circ = sin(360^\circ + 65^\circ) = sin65^\circ$. Угол $65^\circ$ в I четверти, синус положителен. $sin425^\circ > 0$.
$cos250^\circ$: угол $250^\circ$ в III четверти, косинус отрицателен. $cos250^\circ < 0$.
$ctg420^\circ$: $ctg420^\circ = ctg(360^\circ + 60^\circ) = ctg60^\circ$. Угол $60^\circ$ в I четверти, котангенс положителен. $ctg420^\circ > 0$.
$tg330^\circ$: угол $330^\circ$ в IV четверти, тангенс отрицателен. $tg330^\circ < 0$.
$sin750^\circ$: $sin750^\circ = sin(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = sin30^\circ$. Угол $30^\circ$ в I четверти, синус положителен. $sin750^\circ > 0$.
Произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$.
Ответ: плюс.

3) $sin\frac{7\pi}{3} \cdot cos\frac{2\pi}{3} \cdot tg\frac{9\pi}{4} \cdot ctg\frac{13\pi}{6} \cdot cos\frac{7\pi}{4}$
Определим знак каждого множителя.
$sin\frac{7\pi}{3}$: $sin\frac{7\pi}{3} = sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = sin\frac{\pi}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ в I четверти, синус положителен. $sin\frac{7\pi}{3} > 0$.
$cos\frac{2\pi}{3}$: угол $\frac{2\pi}{3}$ во II четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$), косинус отрицателен. $cos\frac{2\pi}{3} < 0$.
$tg\frac{9\pi}{4}$: $tg\frac{9\pi}{4} = tg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = tg\frac{\pi}{4}$. Угол $\frac{\pi}{4}$ в I четверти, тангенс положителен. $tg\frac{9\pi}{4} > 0$.
$ctg\frac{13\pi}{6}$: $ctg\frac{13\pi}{6} = ctg(2\pi + \frac{\pi}{6}) = ctg\frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ в I четверти, котангенс положителен. $ctg\frac{13\pi}{6} > 0$.
$cos\frac{7\pi}{4}$: угол $\frac{7\pi}{4}$ в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$), косинус положителен. $cos\frac{7\pi}{4} > 0$.
Произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Ответ: минус.

4) $sin\frac{5\pi}{3} \cdot cos\frac{7\pi}{6} \cdot tg\frac{11\pi}{4} \cdot ctg\frac{8\pi}{3} \cdot sin\frac{11\pi}{6}$
Определим знак каждого множителя.
$sin\frac{5\pi}{3}$: угол $\frac{5\pi}{3}$ в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$), синус отрицателен. $sin\frac{5\pi}{3} < 0$.
$cos\frac{7\pi}{6}$: угол $\frac{7\pi}{6}$ в III четверти ($\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$), косинус отрицателен. $cos\frac{7\pi}{6} < 0$.
$tg\frac{11\pi}{4}$: $tg\frac{11\pi}{4} = tg(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = tg\frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ во II четверти, тангенс отрицателен. $tg\frac{11\pi}{4} < 0$.
$ctg\frac{8\pi}{3}$: $ctg\frac{8\pi}{3} = ctg(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = ctg\frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ во II четверти, котангенс отрицателен. $ctg\frac{8\pi}{3} < 0$.
$sin\frac{11\pi}{6}$: угол $\frac{11\pi}{6}$ в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 2\pi$), синус отрицателен. $sin\frac{11\pi}{6} < 0$.
Произведение знаков: $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$. Пять отрицательных множителей дают в произведении отрицательный результат.
Ответ: минус.

23.10. Упростите выражение:

1)

$\frac{\sin(-\alpha) \cdot \cot(\pi - \alpha)}{\cos(360^\circ - \alpha) \cdot \tan(\pi + \alpha)}$

2)

$\frac{\sin(\pi + \alpha) \cdot \cot(2\pi - \alpha)}{\cos(720^\circ - \alpha) \cdot \tan(2\pi + \alpha)}$

3)

$ \frac{\tan(-\alpha) \cdot \cos(\pi - \alpha)}{\sin(\pi - \alpha) \cdot \cot(\pi + \alpha)} $

1) Для упрощения выражения $\frac{\sin(-\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\pi - \alpha)}{\cos(360^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(\pi + \alpha)}$ воспользуемся формулами приведения и свойствами четности/нечетности тригонометрических функций.
Разберем каждый множитель отдельно:
• $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, так как синус является нечетной функцией.
• $\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$, так как во второй четверти котангенс отрицателен.
• $\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$, так как в четвертой четверти косинус положителен, и $360^\circ$ ($2\pi$) — это полный оборот.
• $\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$, так как в третьей четверти тангенс положителен.
Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha))}{\cos(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)}$
Теперь выразим котангенс и тангенс через синус и косинус: $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ и $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
$\frac{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \operatorname{ctg}(\alpha)$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(\alpha)$.

2) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + \alpha) \cdot \operatorname{ctg}(2\pi - \alpha)}{\cos(720^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(2\pi + \alpha)}$.
Применим формулы приведения:
• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$, так как в третьей четверти синус отрицателен.
• $\operatorname{ctg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$, так как в четвертой четверти котангенс отрицателен.
• $\cos(720^\circ - \alpha) = \cos(2 \cdot 360^\circ - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, так как период косинуса равен $360^\circ$, и косинус — четная функция.
• $\operatorname{tg}(2\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$, так как период тангенса равен $\pi$ (а значит, и $2\pi$).
Подставим упрощенные значения в дробь:
$\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha))}{\cos(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)}$
Это выражение полностью совпадает с промежуточным результатом из предыдущего пункта. Выполним те же преобразования:
$\frac{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \operatorname{ctg}(\alpha)$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(\alpha)$.

3) Упростим выражение $\frac{\operatorname{tg}(-\alpha) \cdot \cos(\pi - \alpha)}{\sin(\pi - \alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\pi + \alpha)}$.
Используем формулы приведения и свойства функций:
• $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$, так как тангенс является нечетной функцией.
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, так как во второй четверти косинус отрицателен.
• $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, так как во второй четверти синус положителен.
• $\operatorname{ctg}(\pi + \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$, так как в третьей четверти котангенс положителен.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{(-\operatorname{tg}(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha))}{\sin(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)} = \frac{\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)}$
Заменим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \operatorname{tg}(\alpha)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(\alpha)$.

23.11. Найдите значение выражения:

1) $\sin(-135^{\circ}) \cdot \cos390^{\circ} \cdot \operatorname{tg}405^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}(-330^{\circ});$

2) $\sin(-225^{\circ}) \cdot \cos(-480^{\circ}) \cdot \operatorname{ctg}(-420^{\circ}) \cdot \operatorname{tg}300^{\circ}.$

1) Найдем значение выражения $\sin(-135^\circ) \cdot \cos(390^\circ) \cdot \tan(405^\circ) \cdot \cot(-330^\circ)$.

Для этого упростим каждый множитель, используя свойства тригонометрических функций (периодичность, четность/нечетность) и формулы приведения.

- Первый множитель: $\sin(-135^\circ)$. Синус — нечетная функция, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-135^\circ) = -\sin(135^\circ)$.
Применим формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$:
$-\sin(135^\circ) = -\sin(180^\circ - 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

- Второй множитель: $\cos(390^\circ)$. Косинус — периодическая функция с периодом $360^\circ$, поэтому $\cos(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)$.
$\cos(390^\circ) = \cos(360^\circ + 30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

- Третий множитель: $\tan(405^\circ)$. Тангенс — периодическая функция с периодом $180^\circ$ (а значит и $360^\circ$), поэтому $\tan(360^\circ + \alpha) = \tan(\alpha)$.
$\tan(405^\circ) = \tan(360^\circ + 45^\circ) = \tan(45^\circ) = 1$.

- Четвертый множитель: $\cot(-330^\circ)$. Котангенс — нечетная функция, поэтому $\cot(-\alpha) = -\cot(\alpha)$.
$\cot(-330^\circ) = -\cot(330^\circ)$.
Применим формулу приведения $\cot(360^\circ - \alpha) = -\cot(\alpha)$:
$-\cot(330^\circ) = -(-\cot(30^\circ)) = \cot(30^\circ) = \sqrt{3}$.

Теперь перемножим полученные значения:
$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{4} = -\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $-\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

2) Найдем значение выражения $\sin(-225^\circ) \cdot \cos(-480^\circ) \cdot \cot(-420^\circ) \cdot \tan(300^\circ)$.

Упростим каждый множитель по отдельности.

- Первый множитель: $\sin(-225^\circ)$. Используем нечетность синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$) и формулу приведения $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$:
$\sin(-225^\circ) = -\sin(225^\circ) = -\sin(180^\circ + 45^\circ) = -(-\sin(45^\circ)) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

- Второй множитель: $\cos(-480^\circ)$. Используем четность косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), его периодичность ($360^\circ$) и формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$:
$\cos(-480^\circ) = \cos(480^\circ) = \cos(360^\circ + 120^\circ) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

- Третий множитель: $\cot(-420^\circ)$. Используем нечетность котангенса ($\cot(-\alpha) = -\cot(\alpha)$) и его периодичность ($180^\circ$):
$\cot(-420^\circ) = -\cot(420^\circ) = -\cot(2 \cdot 180^\circ + 60^\circ) = -\cot(60^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

- Четвертый множитель: $\tan(300^\circ)$. Используем формулу приведения $\tan(360^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha)$:
$\tan(300^\circ) = \tan(360^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.

Теперь перемножим полученные значения:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot (-\sqrt{3})$.
Произведение последних двух множителей $\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot (-\sqrt{3})$ равно $1$.
Таким образом, получаем: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1 = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

23.12. Докажите тождество:

1) $tgx + tg(180^\circ - x) + ctg(360^\circ - x) = ctg(180^\circ - x);$

2) $ctgx + tg(90^\circ + x) + tg(360^\circ + x) = ctg(270^\circ - x);$

3) $sin(\frac{3\pi}{2} + \beta) \cdot ctg(\frac{\pi}{2} - \beta) + sin(180^\circ - \beta) + ctg(\frac{3\pi}{2} - \beta) = tg\beta.$

1) Для доказательства тождества $tg x + tg(180^\circ - x) + ctg(360^\circ - x) = ctg(180^\circ - x)$ преобразуем его левую и правую части с помощью формул приведения.

Упростим левую часть (LHS):
Используем формулы приведения:
$tg(180^\circ - x) = -tg x$ (так как угол $180^\circ - x$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен, а основная функция не меняется).
$ctg(360^\circ - x) = -ctg x$ (так как угол $360^\circ - x$ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен, а основная функция не меняется).
Подставим эти выражения в левую часть:
$LHS = tg x + (-tg x) + (-ctg x) = tg x - tg x - ctg x = -ctg x$.

Теперь упростим правую часть (RHS):
$ctg(180^\circ - x) = -ctg x$ (так как угол $180^\circ - x$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен, а основная функция не меняется).
$RHS = -ctg x$.

Сравнивая левую и правую части, получаем $-ctg x = -ctg x$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ctg x + tg(90^\circ + x) + tg(360^\circ + x) = ctg(270^\circ - x)$ преобразуем его левую и правую части.

Упростим левую часть (LHS):
Используем формулы приведения:
$tg(90^\circ + x) = -ctg x$ (угол во второй четверти, тангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$tg(360^\circ + x) = tg x$ (в силу периодичности тангенса).
Подставим в левую часть:
$LHS = ctg x + (-ctg x) + tg x = ctg x - ctg x + tg x = tg x$.

Упростим правую часть (RHS):
$ctg(270^\circ - x) = tg x$ (угол в третьей четверти, котангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
$RHS = tg x$.

Сравнивая левую и правую части, получаем $tg x = tg x$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $sin(\frac{3\pi}{2} + \beta) \cdot ctg(\frac{\pi}{2} - \beta) + sin(180^\circ - \beta) + ctg(\frac{3\pi}{2} - \beta) = tg \beta$ преобразуем его левую часть.

Применим формулы приведения к каждому члену выражения в левой части:
$sin(\frac{3\pi}{2} + \beta) = -cos \beta$ (угол в IV четверти, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$ctg(\frac{\pi}{2} - \beta) = tg \beta$ (угол в I четверти, котангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
$sin(180^\circ - \beta) = sin(\pi - \beta) = sin \beta$ (угол во II четверти, синус положителен, функция не меняется).
$ctg(\frac{3\pi}{2} - \beta) = tg \beta$ (угол в III четверти, котангенс положителен, функция меняется на кофункцию).

Подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:
$LHS = (-cos \beta) \cdot (tg \beta) + sin \beta + tg \beta$.
Используем основное тригонометрическое соотношение $tg \beta = \frac{sin \beta}{cos \beta}$:
$LHS = (-cos \beta) \cdot (\frac{sin \beta}{cos \beta}) + sin \beta + tg \beta$.
Сократим $cos \beta$ в первом слагаемом:
$LHS = -sin \beta + sin \beta + tg \beta = tg \beta$.

Правая часть (RHS) равна $tg \beta$.
Сравнивая левую и правую части, получаем $tg \beta = tg \beta$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

23.13. Упростите выражение:

1) $\sin(2\pi - x) \cdot \cos(90^\circ + x) - \cos(2\pi + x) \cdot \sin(270^\circ - x) - 1;$

2) $\sin(4\pi - x) \cdot \cos(270^\circ - x) + \cos(\pi + x) \cdot \sin(270^\circ + x) - 1.$

1) Упростим выражение $sin(2\pi - x) \cdot cos(90^\circ + x) - cos(2\pi + x) \cdot sin(270^\circ - x) - 1$.

Для этого воспользуемся формулами приведения, чтобы упростить каждый из тригонометрических членов.

1. $sin(2\pi - x)$: Угол $2\pi - x$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Так как мы вычитаем из $2\pi$, название функции не меняется. Следовательно, $sin(2\pi - x) = -sin(x)$.

2. $cos(90^\circ + x)$: Угол $90^\circ + x$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Так как мы прибавляем к $90^\circ$, название функции меняется с косинуса на синус. Следовательно, $cos(90^\circ + x) = -sin(x)$.

3. $cos(2\pi + x)$: Функция косинуса имеет период $2\pi$, поэтому $cos(2\pi + x) = cos(x)$.

4. $sin(270^\circ - x)$: Угол $270^\circ - x$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Так как мы вычитаем из $270^\circ$, название функции меняется с синуса на косинус. Следовательно, $sin(270^\circ - x) = -cos(x)$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$(-sin(x)) \cdot (-sin(x)) - (cos(x)) \cdot (-cos(x)) - 1$

Выполним умножение:

$sin^2(x) - (-cos^2(x)) - 1 = sin^2(x) + cos^2(x) - 1$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, получаем:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$.

2) Упростим выражение $sin(4\pi - x) \cdot cos(270^\circ - x) + cos(\pi + x) \cdot sin(270^\circ + x) - 1$.

Применим формулы приведения для каждого члена выражения.

1. $sin(4\pi - x)$: Функция синуса имеет период $2\pi$, поэтому $sin(4\pi - x) = sin(2\pi - x)$. Угол $2\pi - x$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $sin(4\pi - x) = -sin(x)$.

2. $cos(270^\circ - x)$: Угол $270^\circ - x$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Название функции меняется на синус. Следовательно, $cos(270^\circ - x) = -sin(x)$.

3. $cos(\pi + x)$: Угол $\pi + x$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Название функции не меняется. Следовательно, $cos(\pi + x) = -cos(x)$.

4. $sin(270^\circ + x)$: Угол $270^\circ + x$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Название функции меняется на косинус. Следовательно, $sin(270^\circ + x) = -cos(x)$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$(-sin(x)) \cdot (-sin(x)) + (-cos(x)) \cdot (-cos(x)) - 1$

Выполним умножение:

$sin^2(x) + cos^2(x) - 1$

Применяя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, получаем:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$.

23.14. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\mathrm{tg} \frac{5 \pi}{3} \cdot \mathrm{cos} \frac{\pi}{3}}{\mathrm{sin} 30^\circ}$;

2) $\frac{\mathrm{ctg} 135^\circ \cdot \mathrm{sin} 225^\circ}{\mathrm{cos} \frac{\pi}{3}}$;

3) $\frac{\mathrm{tg} 315^\circ \cdot \mathrm{sin} 135^\circ}{\mathrm{cos}^2 \frac{\pi}{6}}$;

4) $\frac{\mathrm{tg} 315^\circ \cdot \mathrm{sin} 135^\circ}{\mathrm{cos}^2 \frac{\pi}{6}}$.

1) Решим выражение $ \frac{\text{tg}\frac{5\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{3}}{\sin30^{\circ}} $.

Сначала найдем значения для каждой тригонометрической функции в выражении.

Значение тангенса: $ \text{tg}\frac{5\pi}{3} = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $.

Значение косинуса: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.

Значение синуса: $ \sin30^{\circ} = \frac{1}{2} $.

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$ \frac{-\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} $.

Ответ: $ -\sqrt{3} $

2) Решим выражение $ \frac{\text{ctg}135^{\circ} \cdot \sin225^{\circ}}{\cos\frac{\pi}{3}} $.

Найдем значения для каждой тригонометрической функции.

Значение котангенса: $ \text{ctg}135^{\circ} = \text{ctg}(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\text{ctg}45^{\circ} = -1 $.

Значение синуса: $ \sin225^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\sin45^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Значение косинуса: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \frac{-1 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $.

Ответ: $ \sqrt{2} $

3) Решим выражение $ \frac{\text{tg}315^{\circ} \cdot \sin135^{\circ}}{\cos^2\frac{\pi}{6}} $.

Найдем значения для каждой тригонометрической функции.

Значение тангенса: $ \text{tg}315^{\circ} = \text{tg}(360^{\circ} - 45^{\circ}) = -\text{tg}45^{\circ} = -1 $.

Значение синуса: $ \sin135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Значение косинуса в квадрате: $ \cos^2\frac{\pi}{6} = (\cos30^{\circ})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \frac{-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{6} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{2\sqrt{2}}{3} $

4) Решим выражение $ \frac{\text{tg}315^{\circ} \cdot \sin135^{\circ}}{\cos^2\frac{\pi}{6}} $.

Это выражение идентично выражению из пункта 3. Следовательно, решение и ответ будут такими же.

Найдем значения для каждой тригонометрической функции.

Значение тангенса: $ \text{tg}315^{\circ} = \text{tg}(360^{\circ} - 45^{\circ}) = -\text{tg}45^{\circ} = -1 $.

Значение синуса: $ \sin135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Значение косинуса в квадрате: $ \cos^2\frac{\pi}{6} = (\cos30^{\circ})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $.

Подставим эти значения в выражение:

$ \frac{-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{6} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{2\sqrt{2}}{3} $