Номер 23.10, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.10. Упростите выражение:

1)

$\frac{\sin(-\alpha) \cdot \cot(\pi - \alpha)}{\cos(360^\circ - \alpha) \cdot \tan(\pi + \alpha)}$

2)

$\frac{\sin(\pi + \alpha) \cdot \cot(2\pi - \alpha)}{\cos(720^\circ - \alpha) \cdot \tan(2\pi + \alpha)}$

3)

$ \frac{\tan(-\alpha) \cdot \cos(\pi - \alpha)}{\sin(\pi - \alpha) \cdot \cot(\pi + \alpha)} $

1) Для упрощения выражения $\frac{\sin(-\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\pi - \alpha)}{\cos(360^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(\pi + \alpha)}$ воспользуемся формулами приведения и свойствами четности/нечетности тригонометрических функций.
Разберем каждый множитель отдельно:
• $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, так как синус является нечетной функцией.
• $\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$, так как во второй четверти котангенс отрицателен.
• $\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha)$, так как в четвертой четверти косинус положителен, и $360^\circ$ ($2\pi$) — это полный оборот.
• $\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$, так как в третьей четверти тангенс положителен.
Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha))}{\cos(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)}$
Теперь выразим котангенс и тангенс через синус и косинус: $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ и $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
$\frac{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \operatorname{ctg}(\alpha)$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(\alpha)$.

2) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + \alpha) \cdot \operatorname{ctg}(2\pi - \alpha)}{\cos(720^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(2\pi + \alpha)}$.
Применим формулы приведения:
• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$, так как в третьей четверти синус отрицателен.
• $\operatorname{ctg}(2\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$, так как в четвертой четверти котангенс отрицателен.
• $\cos(720^\circ - \alpha) = \cos(2 \cdot 360^\circ - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, так как период косинуса равен $360^\circ$, и косинус — четная функция.
• $\operatorname{tg}(2\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$, так как период тангенса равен $\pi$ (а значит, и $2\pi$).
Подставим упрощенные значения в дробь:
$\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha))}{\cos(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)}$
Это выражение полностью совпадает с промежуточным результатом из предыдущего пункта. Выполним те же преобразования:
$\frac{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \operatorname{ctg}(\alpha)$.
Ответ: $\operatorname{ctg}(\alpha)$.

3) Упростим выражение $\frac{\operatorname{tg}(-\alpha) \cdot \cos(\pi - \alpha)}{\sin(\pi - \alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\pi + \alpha)}$.
Используем формулы приведения и свойства функций:
• $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$, так как тангенс является нечетной функцией.
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, так как во второй четверти косинус отрицателен.
• $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, так как во второй четверти синус положителен.
• $\operatorname{ctg}(\pi + \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha)$, так как в третьей четверти котангенс положителен.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{(-\operatorname{tg}(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha))}{\sin(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)} = \frac{\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)}$
Заменим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \cos(\alpha)}{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \operatorname{tg}(\alpha)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(\alpha)$.