Номер 23.5, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.5. 1) $ \sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ + \alpha) + \text{ctg}(270^\circ - \alpha) + \text{tg}(360^\circ - \alpha); $

2) $ \cos(90^\circ + \alpha) - \sin(180^\circ + \alpha) + \text{ctg}(270^\circ + \alpha) + \text{tg}(360^\circ + \alpha); $

3) $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) - \sin(\pi + \alpha) + \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) + \text{tg}(2\pi + \alpha); $

4) $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) - \cos(\pi + \alpha) + \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \text{ctg}(2\pi + \alpha). $

1) $sin(90^\circ - \alpha) + cos(180^\circ + \alpha) + ctg(270^\circ - \alpha) + tg(360^\circ - \alpha)$
Для упрощения выражения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют свести тригонометрическую функцию любого угла к функции острого угла. Правила следующие:
1. Если в формуле содержатся углы $180^\circ$ ($\pi$) или $360^\circ$ ($2\pi$), то название функции не меняется.
2. Если в формуле содержатся углы $90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$) или $270^\circ$ ($\frac{3\pi}{2}$), то название функции меняется на кофункцию ($sin \leftrightarrow cos$, $tg \leftrightarrow ctg$).
3. Знак перед приведенной функцией определяется знаком исходной функции в той четверти, в которой находится угол (считая $\alpha$ острым углом).

Применим эти правила к каждому слагаемому:
• $sin(90^\circ - \alpha)$: Угол $90^\circ$ меняет функцию на кофункцию (косинус). Угол $90^\circ - \alpha$ находится в I четверти, где синус положителен. Получаем: $sin(90^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$.
• $cos(180^\circ + \alpha)$: Угол $180^\circ$ не меняет функцию. Угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Получаем: $cos(180^\circ + \alpha) = -cos(\alpha)$.
• $ctg(270^\circ - \alpha)$: Угол $270^\circ$ меняет функцию на кофункцию (тангенс). Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Получаем: $ctg(270^\circ - \alpha) = tg(\alpha)$.
• $tg(360^\circ - \alpha)$: Угол $360^\circ$ не меняет функцию. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Получаем: $tg(360^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:
$cos(\alpha) + (-cos(\alpha)) + tg(\alpha) + (-tg(\alpha)) = cos(\alpha) - cos(\alpha) + tg(\alpha) - tg(\alpha) = 0$.
Ответ: $0$.

2) $cos(90^\circ + \alpha) - sin(180^\circ + \alpha) + ctg(270^\circ + \alpha) + tg(360^\circ + \alpha)$
Упростим каждое слагаемое по формулам приведения:
• $cos(90^\circ + \alpha)$: Угол $90^\circ$ меняет функцию на синус. Угол $90^\circ + \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Получаем: $cos(90^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$.
• $sin(180^\circ + \alpha)$: Угол $180^\circ$ не меняет функцию. Угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Получаем: $sin(180^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$.
• $ctg(270^\circ + \alpha)$: Угол $270^\circ$ меняет функцию на тангенс. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен. Получаем: $ctg(270^\circ + \alpha) = -tg(\alpha)$.
• $tg(360^\circ + \alpha)$: Угол $360^\circ$ является полным оборотом, поэтому его можно отбросить ($tg$ периодичен с периодом $180^\circ$). $tg(360^\circ + \alpha) = tg(\alpha)$.

Подставим полученные выражения:
$-sin(\alpha) - (-sin(\alpha)) + (-tg(\alpha)) + tg(\alpha) = -sin(\alpha) + sin(\alpha) - tg(\alpha) + tg(\alpha) = 0$.
Ответ: $0$.

3) $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) - sin(\pi + \alpha) + ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) + tg(2\pi + \alpha)$
Упростим выражение, используя формулы приведения для радианной меры.
• $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$: Угол $\frac{3\pi}{2}$ меняет функцию на синус. Угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Получаем: $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$.
• $sin(\pi + \alpha)$: Угол $\pi$ не меняет функцию. Угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Получаем: $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$.
• $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$: Угол $\frac{\pi}{2}$ меняет функцию на тангенс. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Получаем: $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$.
• $tg(2\pi + \alpha)$: Угол $2\pi$ - полный оборот, тангенс периодичен с периодом $\pi$. Получаем: $tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.

Подставим и вычислим:
$sin(\alpha) - (-sin(\alpha)) + (-tg(\alpha)) + tg(\alpha) = sin(\alpha) + sin(\alpha) - tg(\alpha) + tg(\alpha) = 2sin(\alpha)$.
Ответ: $2sin(\alpha)$.

4) $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) - cos(\pi + \alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + ctg(2\pi + \alpha)$
Применим формулы приведения.
• $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$: Угол $\frac{3\pi}{2}$ меняет функцию на косинус. Угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Получаем: $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -cos(\alpha)$.
• $cos(\pi + \alpha)$: Угол $\pi$ не меняет функцию. Угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Получаем: $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$.
• $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$: Угол $\frac{3\pi}{2}$ меняет функцию на котангенс. Угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Получаем: $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.
• $ctg(2\pi + \alpha)$: Угол $2\pi$ - полный оборот, котангенс периодичен с периодом $\pi$. Получаем: $ctg(2\pi + \alpha) = ctg(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения:
$-cos(\alpha) - (-cos(\alpha)) + (-ctg(\alpha)) + ctg(\alpha) = -cos(\alpha) + cos(\alpha) - ctg(\alpha) + ctg(\alpha) = 0$.
Ответ: $0$.