Номер 23.4, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (23.4—23.5):

23.4. 1) $1 - \sin^2(270^\circ + \alpha)$;

2) $1 - \cos^2(270^\circ - \alpha)$;

3) $1 - \sin^2(360^\circ - \alpha)$;

4) $1 - \cos^2(360^\circ + \alpha)$;

5) $1 + \operatorname{ctg}^2(270^\circ - \alpha)$;

6) $1 + \operatorname{tg}^2(360^\circ - \alpha).$

1) Для упрощения выражения $1 - \sin^2(270^\circ + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством. Сначала упростим $\sin(270^\circ + \alpha)$. Так как в аргументе присутствует $270^\circ$, синус меняется на косинус. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV четверти, где синус отрицателен, поэтому $\sin(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$. Подставим это в исходное выражение: $1 - \sin^2(270^\circ + \alpha) = 1 - (-\cos(\alpha))^2 = 1 - \cos^2(\alpha)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$. Таким образом, выражение упрощается до $\sin^2(\alpha)$.
Ответ: $\sin^2(\alpha)$.

2) Упростим выражение $1 - \cos^2(270^\circ - \alpha)$, используя формулы приведения и основное тригонометрическое тождество. Найдем значение $\cos(270^\circ - \alpha)$. При использовании $270^\circ$ косинус меняется на синус. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен, следовательно $\cos(270^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$. Подставим полученное значение в выражение: $1 - \cos^2(270^\circ - \alpha) = 1 - (-\sin(\alpha))^2 = 1 - \sin^2(\alpha)$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем, что $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$. В результате упрощения получаем $\cos^2(\alpha)$.
Ответ: $\cos^2(\alpha)$.

3) Для упрощения выражения $1 - \sin^2(360^\circ - \alpha)$ применим формулы приведения и основное тригонометрическое тождество. Сначала рассмотрим $\sin(360^\circ - \alpha)$. Так как в аргументе $360^\circ$, функция синус не меняется. Угол $360^\circ - \alpha$ принадлежит IV четверти, где синус имеет отрицательное значение, поэтому $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$. Подставим это в исходное выражение: $1 - \sin^2(360^\circ - \alpha) = 1 - (-\sin(\alpha))^2 = 1 - \sin^2(\alpha)$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ следует, что $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$. Таким образом, выражение равно $\cos^2(\alpha)$.
Ответ: $\cos^2(\alpha)$.

4) Упростим данное выражение $1 - \cos^2(360^\circ + \alpha)$. Воспользуемся периодичностью косинуса, период которого равен $360^\circ$. Таким образом, $\cos(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)$. Подставим это в выражение: $1 - \cos^2(360^\circ + \alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$. Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, находим, что $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$. Следовательно, итоговое выражение есть $\sin^2(\alpha)$.
Ответ: $\sin^2(\alpha)$.

5) Для упрощения выражения $1 + \text{ctg}^2(270^\circ - \alpha)$ применим формулы приведения и одно из следствий основного тригонометрического тождества. Упростим $\text{ctg}(270^\circ - \alpha)$. Так как в аргументе $270^\circ$, котангенс меняется на тангенс. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен, поэтому $\text{ctg}(270^\circ - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$. Подставим в исходное выражение: $1 + \text{ctg}^2(270^\circ - \alpha) = 1 + (\text{tg}(\alpha))^2 = 1 + \text{tg}^2(\alpha)$. Используя тождество $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$, получаем конечный результат.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.

6) Упростим выражение $1 + \text{tg}^2(360^\circ - \alpha)$, используя формулы приведения и тригонометрическое тождество. Сначала преобразуем $\text{tg}(360^\circ - \alpha)$. Так как в аргументе $360^\circ$, функция тангенс не меняется. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен, поэтому $\text{tg}(360^\circ - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$. Подставим это в исходное выражение: $1 + \text{tg}^2(360^\circ - \alpha) = 1 + (-\text{tg}(\alpha))^2 = 1 + \text{tg}^2(\alpha)$. Согласно тригонометрическому тождеству $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.