Вопросы, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 23. Формулы приведения. Глава IV. Тригонометрия. Часть 2 - страница 50.

Условие рус.

1. Какие формулы носят название формул приведения?

2. Надо ли запоминать отдельно каждую формулу приведения?

3. В каком случае при использовании формул приведения тригонометрическая функция меняется на противоположную функцию?

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Какие формулы носят название формул приведения?

Формулами приведения называют тригонометрические тождества, которые позволяют выразить значение тригонометрической функции от произвольного угла через значение тригонометрической функции от острого угла (угла из первой четверти, от $0$ до $\frac{\pi}{2}$). Эти формулы предназначены для упрощения тригонометрических выражений и вычисления значений функций для углов, которые не принадлежат первой четверти.

Общий вид аргумента в таких формулах — $(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha)$ или $(n \cdot 90^\circ \pm \alpha)$, где $n$ — целое число, а $\alpha$ — острый угол. Название «приведение» отражает суть этих формул: они «приводят» сложный угол к простому.

Примеры формул приведения:

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$

$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha)$

$\tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cot(\alpha)$

Ответ: Формулы приведения — это формулы, которые позволяют свести вычисление тригонометрической функции от угла вида $(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha)$ к вычислению функции от острого угла $\alpha$.

2. Надо ли запоминать отдельно каждую формулу приведения?

Нет, запоминать все формулы приведения (а их более 30) не только не нужно, но и неэффективно. Вместо этого существует простое и универсальное мнемоническое правило, которое позволяет вывести любую из этих формул за несколько секунд. Это правило состоит из двух шагов:

1. Определение знака. Знак у итоговой функции такой же, как и у исходной функции в той координатной четверти, где находится угол $(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha)$. При этом угол $\alpha$ условно считается острым. Например, для $\sin(\pi + \alpha)$ угол $(\pi + \alpha)$ находится в III четверти, где синус отрицателен, поэтому в результате будет стоять знак «минус».

2. Определение названия функции. Здесь используется так называемое "правило лошади". Мысленно проведите по тригонометрическому кругу от опорного угла ($\frac{\pi n}{2}$):

- Если опорный угол лежит на горизонтальной оси ($\pi$, $2\pi$, ... или $180^\circ, 360^\circ, ...$), то мы как бы качаем головой вдоль этой оси, говоря "нет". Это означает, что название функции не меняется (синус остается синусом, косинус — косинусом и т.д.).

- Если опорный угол лежит на вертикальной оси ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, ... или $90^\circ, 270^\circ, ...$), то мы как бы киваем головой вдоль этой оси, говоря "да". Это означает, что название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Таким образом, вместо заучивания десятков формул достаточно понять и запомнить одно общее правило.

Ответ: Нет, запоминать каждую формулу приведения не надо. Достаточно освоить общее мнемоническое правило для их вывода.

3. В каком случае при использовании формул приведения тригонометрическая функция меняется на противоположную функцию?

Тригонометрическая функция меняется на «противоположную» (более корректный термин — кофункция) в том случае, когда приведение выполняется от углов, расположенных на вертикальной оси тригонометрического круга. Такими углами являются $\frac{\pi}{2}~(90^\circ)$, $\frac{3\pi}{2}~(270^\circ)$ и все углы, получаемые из них добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k$ или $360^\circ k$).

В общем виде, если аргумент функции представлен как $(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha)$, то функция меняется на кофункцию, когда множитель $n$ является нечетным числом (n = 1, 3, 5, ...).

При этом происходят следующие замены:

- $\sin$ меняется на $\cos$

- $\cos$ меняется на $\sin$

- $\tan$ меняется на $\cot$

- $\cot$ меняется на $\tan$

Например, в формуле $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$ функция косинус меняется на синус, так как опорный угол $\frac{\pi}{2}$ соответствует нечетному $n=1$. В то же время, в формуле $\tan(\pi - \alpha) = -\tan(\alpha)$ функция не меняется, так как опорный угол $\pi = \frac{2\pi}{2}$ соответствует четному $n=2$.

Ответ: Тригонометрическая функция меняется на кофункцию, если в аргументе вида $(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha)$ число $n$ является нечетным, то есть приведение выполняется от углов $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$ и т.д.