Номер 22.26, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.26. В X в. багдадский ученый Абу-ль-Вефа присоединил к понятиям синусов и косинусов понятия тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов и установил также основные соотношения между ними.

В X веке багдадский ученый Абу-ль-Вефа, один из крупнейших математиков и астрономов средневекового Востока, действительно внёс существенный вклад в развитие тригонометрии. Он систематизировал и дополнил знания о тригонометрических функциях, введя понятия тангенса, котангенса, секанса и косеканса и установив ключевые зависимости между ними. Вот эти основные соотношения:

Определения тригонометрических функций через синус и косинус

Абу-ль-Вефа и другие математики его времени определили новые тригонометрические функции через уже известные синус и косинус для произвольного угла $\alpha$:

1. Тангенс (в то время назывался «тень»): отношение синуса к косинусу.

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

2. Котангенс: отношение косинуса к синусу.

$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

3. Секанс (в то время назывался «секущая»): величина, обратная косинусу.

$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$

4. Косеканс: величина, обратная синусу.

$\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$

Основные тригонометрические тождества

Эти тождества, также известные как Пифагоровы тождества, являются следствием теоремы Пифагора, примененной к единичной окружности, и связывают квадраты различных тригонометрических функций.

1. Главное тождество, связывающее синус и косинус:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

2. Тождество, связывающее тангенс и секанс. Его можно получить, разделив предыдущее тождество на $\cos^2 \alpha$:

$1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$

3. Тождество, связывающее котангенс и косеканс. Его можно получить, разделив главное тождество на $\sin^2 \alpha$:

$1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$

Соотношения взаимной обратности

Из определений напрямую следуют соотношения, показывающие, что некоторые пары функций являются взаимно обратными.

1. Тангенс и котангенс:

$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$, откуда $\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}$ и $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$

2. Синус и косеканс (из определения косеканса):

$\sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1$

3. Косинус и секанс (из определения секанса):

$\cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1$

Ответ: Основные соотношения между тригонометрическими функциями, установленные и систематизированные в работах Абу-ль-Вефы, включают: определения тангенса, котангенса, секанса и косеканса через синус и косинус ($\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$, $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$); основные тригонометрические (Пифагоровы) тождества ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$, $1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$); и соотношения взаимной обратности ($\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$).