Номер 22.20, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.20. Докажите, что при всех допустимых значениях α является постоянной величиной значение выражения:

1)

$\frac{(tg\alpha + ctg\alpha)^2 - (tg\alpha - ctg\alpha)^2}{\frac{1}{\cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha} - ctg^2 \alpha - tg^2 \alpha};$

2)

$\cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha.$

1) Требуется доказать, что значение выражения $\frac{(\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha)^2}{\frac{1}{\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha} - \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha}$ является постоянной величиной.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс и котангенс определены, когда $\cos\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$. Знаменатель дроби $\frac{1}{\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha}$ также требует, чтобы $\cos\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ или раскрыв скобки по формуле квадрата суммы и разности. Применим формулу $(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy$.
Пусть $x = \text{tg}\alpha$ и $y = \text{ctg}\alpha$.
Числитель: $(\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha)^2 = 4 \cdot \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$.
Так как $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$, числитель равен $4 \cdot 1 = 4$.
Теперь упростим знаменатель. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Знаменатель: $\frac{1}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha} - \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.
Приведем к общему знаменателю $\cos^2\alpha \sin^2\alpha$:
$\frac{1 - \cos^2\alpha \cdot \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \cdot \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha} = \frac{1 - (\cos^4\alpha + \sin^4\alpha)}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Возведем его в квадрат:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2$
$\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha = 1$
Отсюда $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Подставим это в числитель знаменателя:
$1 - (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Тогда весь знаменатель равен: $\frac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha\sin^2\alpha} = 2$.
В итоге получаем значение всего выражения: $\frac{4}{2} = 2$.
Значение выражения равно 2, что является постоянной величиной при всех допустимых значениях $\alpha$.
Ответ: 2.

2) Требуется доказать, что значение выражения $\cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha$ является постоянной величиной.
Это выражение определено для любых значений $\alpha$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
Возведем обе части этого тождества в куб: $(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^3 = 1^3$.
Используем формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.
Пусть $a = \cos^2\alpha$ и $b = \sin^2\alpha$.
$(\cos^2\alpha)^3 + (\sin^2\alpha)^3 + 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 1$.
Упростим выражение, зная, что $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$:
$\cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha(1) = 1$.
$\cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha = 1$.
Таким образом, исходное выражение тождественно равно 1, что является постоянной величиной для всех значений $\alpha$.
Ответ: 1.