Номер 22.16, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.16. Известно, что $ \text{tg}\alpha = 3 $. Найдите:

1) $ \frac{4\cos\alpha - 2\sin\alpha}{3\sin\alpha + \cos\alpha} $;

2) $ \frac{5\cos\alpha + 3\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha} $;

3) $ \frac{4\cos\alpha - 3\sin\alpha}{3\sin^3\alpha + \cos^3\alpha} $;

4) $ \frac{\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha} $.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{4\cos\alpha - 2\sin\alpha}{3\sin\alpha + \cos\alpha}$, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$. Это действие допустимо, так как из условия $\tg\alpha=3$ следует, что $\cos\alpha \neq 0$.
$\frac{4\cos\alpha - 2\sin\alpha}{3\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\frac{4\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{4 - 2\tg\alpha}{3\tg\alpha + 1}$.
Подставим данное значение $\tg\alpha = 3$:
$\frac{4 - 2 \cdot 3}{3 \cdot 3 + 1} = \frac{4 - 6}{9 + 1} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$.

2) Для выражения $\frac{5\cos\alpha + 3\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}$ также разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha$:
$\frac{5\cos\alpha + 3\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha} = \frac{\frac{5\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{2\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{5 + 3\tg\alpha}{3\tg\alpha - 2}$.
Подставим $\tg\alpha = 3$:
$\frac{5 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 - 2} = \frac{5 + 9}{9 - 2} = \frac{14}{7} = 2$.
Ответ: $2$.

3) В выражении $\frac{4\cos\alpha - 3\sin\alpha}{3\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}$ разделим числитель и знаменатель на $\cos^3\alpha$:
$\frac{\frac{4\cos\alpha - 3\sin\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{3\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{4\frac{\cos\alpha}{\cos^3\alpha} - 3\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha}}{3\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} + \frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{4\frac{1}{\cos^2\alpha} - 3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{1}{\cos^2\alpha}}{3\tg^3\alpha + 1} = \frac{4\sec^2\alpha - 3\tg\alpha\sec^2\alpha}{3\tg^3\alpha + 1}$.
Используем тригонометрическое тождество $\sec^2\alpha = 1 + \tg^2\alpha$:
$\frac{(4 - 3\tg\alpha)(1+\tg^2\alpha)}{3\tg^3\alpha + 1}$.
Подставим $\tg\alpha = 3$:
$\frac{(4 - 3 \cdot 3)(1 + 3^2)}{3 \cdot 3^3 + 1} = \frac{(4 - 9)(1 + 9)}{3 \cdot 27 + 1} = \frac{-5 \cdot 10}{81 + 1} = \frac{-50}{82} = -\frac{25}{41}$.
Ответ: $-\frac{25}{41}$.

4) Для выражения $\frac{\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}$ разделим числитель и знаменатель на $\cos^2\alpha$:
$\frac{\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{2\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{3\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{2\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 2(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2}{3(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2 + 2} = \frac{\tg\alpha - 2\tg^2\alpha}{3\tg^2\alpha + 2}$.
Подставим $\tg\alpha = 3$:
$\frac{3 - 2 \cdot 3^2}{3 \cdot 3^2 + 2} = \frac{3 - 2 \cdot 9}{3 \cdot 9 + 2} = \frac{3 - 18}{27 + 2} = \frac{-15}{29}$.
Ответ: $-\frac{15}{29}$.