Номер 22.13, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.13. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^3 \beta - \sin^3 \beta}{1 + \cos\beta \cdot \sin\beta} = \cos\beta - \sin\beta;$

2) $\frac{\cos\beta}{1 + \sin\beta} - \frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} = -2tg\beta;$

3) $(1 + tg\beta)^2 + (1 - tg\beta)^2 = \frac{2}{\cos^2 \beta};$

4) $\frac{1 - 4\cos^2 \beta \cdot \sin^2 \beta}{(\cos\beta + \sin\beta)^2} + 2\cos\beta \cdot \sin\beta = 1.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. В числителе используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \cos\beta$ и $b = \sin\beta$. Получаем: $\frac{(\cos\beta - \sin\beta)(\cos^2\beta + \cos\beta\sin\beta + \sin^2\beta)}{1 + \cos\beta \cdot \sin\beta}$. Применяя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$, выражение в скобках в числителе становится $(1 + \cos\beta\sin\beta)$. Тогда вся дробь принимает вид $\frac{(\cos\beta - \sin\beta)(1 + \cos\beta\sin\beta)}{1 + \cos\beta \sin\beta}$. Сокращая дробь на общий множитель $(1 + \cos\beta\sin\beta)$, мы получаем $\cos\beta - \sin\beta$. Полученное выражение равно правой части исходного тождества. Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(1 + \sin\beta)(1 - \sin\beta)$. Используя формулу разности квадратов, получаем $1 - \sin^2\beta$, что по основному тригонометрическому тождеству равно $\cos^2\beta$. Выражение принимает вид: $\frac{\cos\beta(1 - \sin\beta) - \cos\beta(1 + \sin\beta)}{(1 + \sin\beta)(1 - \sin\beta)} = \frac{\cos\beta - \cos\beta\sin\beta - \cos\beta - \cos\beta\sin\beta}{\cos^2\beta}$. Упростив числитель, получаем $\frac{-2\cos\beta\sin\beta}{\cos^2\beta}$. Сократив дробь на $\cos\beta$ (при условии, что $\cos\beta \neq 0$), получаем $\frac{-2\sin\beta}{\cos\beta}$. Так как $\operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$, конечный результат равен $-2\operatorname{tg}\beta$, что соответствует правой части тождества. Ответ: тождество доказано.

3) Рассмотрим левую часть тождества и раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Получаем $(1 + 2\operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}^2\beta) + (1 - 2\operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}^2\beta)$. После приведения подобных слагаемых ($2\operatorname{tg}\beta$ и $-2\operatorname{tg}\beta$ взаимно уничтожаются) выражение упрощается до $2 + 2\operatorname{tg}^2\beta$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(1 + \operatorname{tg}^2\beta)$. Используя тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{tg}^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$, заменяем выражение в скобках. В итоге получаем $2 \cdot \frac{1}{\cos^2\beta} = \frac{2}{\cos^2\beta}$. Левая часть равна правой. Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим дробь. Числитель $1 - 4\cos^2\beta \sin^2\beta$ можно представить как разность квадратов $1^2 - (2\cos\beta\sin\beta)^2$, что равно $(1 - 2\cos\beta\sin\beta)(1 + 2\cos\beta\sin\beta)$. Знаменатель $(\cos\beta + \sin\beta)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы: $\cos^2\beta + 2\cos\beta\sin\beta + \sin^2\beta$. Используя тождество $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$, знаменатель равен $1 + 2\cos\beta\sin\beta$. Таким образом, дробь равна $\frac{(1 - 2\cos\beta\sin\beta)(1 + 2\cos\beta\sin\beta)}{1 + 2\cos\beta\sin\beta}$. Сократив на $(1 + 2\cos\beta\sin\beta)$, получаем $1 - 2\cos\beta\sin\beta$. Теперь подставим это в исходное выражение: $(1 - 2\cos\beta\sin\beta) + 2\cos\beta\sin\beta$. Взаимно уничтожив слагаемые $-2\cos\beta\sin\beta$ и $2\cos\beta\sin\beta$, получаем 1. Левая часть равна правой. Ответ: тождество доказано.