Номер 22.9, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*22.9. Докажите, что при всех допустимых значениях α верно равенство:

1) $3\sin^2 \alpha \cos^2\alpha + \sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1;$

2) $\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} - \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\mathrm{tg}^2 \alpha - 1} = \sin \alpha + \cos \alpha.$

1) Докажем тождество $3\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1$.

Для доказательства воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Возведем обе части этого тождества в куб:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^3 = 1^3$

Раскроем левую часть по формуле куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$. Тогда:

$(\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1$

Упростим выражение, зная, что $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(1) = 1$

Перегруппируем слагаемые, чтобы получить исходное выражение:

$3\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1$

Мы преобразовали основное тригонометрическое тождество и получили доказываемое равенство. Следовательно, равенство верно при всех допустимых значениях $\alpha$ (в данном случае, при любых действительных $\alpha$).

Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем тождество $\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} - \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\tan^2\alpha - 1} = \sin\alpha + \cos\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $\sin\alpha - \cos\alpha \neq 0$, $\tan^2\alpha - 1 \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$.

Сначала упростим знаменатель второй дроби:

$\tan^2\alpha - 1 = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - 1 = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

Используем формулу разности квадратов $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)$:

$\tan^2\alpha - 1 = \frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos^2\alpha}$

Теперь подставим это выражение во вторую дробь:

$\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\tan^2\alpha - 1} = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos^2\alpha}} = \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)\cos^2\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}$

В ОДЗ $\sin\alpha + \cos\alpha \neq 0$ (так как $\tan\alpha \neq -1$), поэтому можно сократить эту скобку:

$\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

Теперь подставим упрощенную вторую дробь в исходное выражение:

$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

Так как знаменатели одинаковы, объединим дроби:

$\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

Снова применим формулу разности квадратов к числителю:

$\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha - \cos\alpha}$

В ОДЗ $\sin\alpha - \cos\alpha \neq 0$, поэтому сокращаем этот множитель:

$\sin\alpha + \cos\alpha$

В результате преобразований левая часть равенства стала равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.