Номер 22.5, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.5. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin x + \cos x}{1 + \operatorname{tg} x} = \cos x;$

2) $\frac{\operatorname{ctg} x - 1}{\sin x - \cos x} = -\sin x;$

3) $\frac{1 + \operatorname{ctg} x}{\sin x + \cos x} = \sin x;$

4) $\frac{\sin x - \cos x}{1 - \operatorname{tg} x} = -\cos x.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Используем определение тангенса: $ \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

$ \frac{\sin x + \cos x}{1 + \text{tg}x} = \frac{\sin x + \cos x}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} $

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

$ \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}} $

Разделим числитель на знаменатель, для этого умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$ (\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} $

Сократим одинаковые множители $ (\sin x + \cos x) $ в числителе и знаменателе, при условии, что $ \sin x + \cos x \neq 0 $:

$ \cos x $

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin x + \cos x}{1 + \text{tg}x} = \cos x $.

2)

Преобразуем левую часть выражения. Используем определение котангенса: $ \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $.

$ \frac{\text{ctg}x - 1}{\sin x - \cos x} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x} - 1}{\sin x - \cos x} $

Приведем выражение в числителе к общему знаменателю:

$ \frac{\frac{\cos x - \sin x}{\sin x}}{\sin x - \cos x} $

Вынесем знак минус за скобки в числителе верхней дроби:

$ \frac{\frac{-(\sin x - \cos x)}{\sin x}}{\sin x - \cos x} $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{-(\sin x - \cos x)}{\sin x \cdot (\sin x - \cos x)} $

Сократим одинаковые множители $ (\sin x - \cos x) $, при условии, что $ \sin x - \cos x \neq 0 $:

$ -\frac{1}{\sin x} $

Таким образом, левая часть выражения равна $ -\frac{1}{\sin x} $, а не $ -\sin x $. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Доказанное верное тождество:

Ответ: $ \frac{\text{ctg}x - 1}{\sin x - \cos x} = -\frac{1}{\sin x} $.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Используем определение котангенса: $ \text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $.

$ \frac{1 + \text{ctg}x}{\sin x + \cos x} = \frac{1 + \frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x + \cos x} $

Приведем выражение в числителе к общему знаменателю:

$ \frac{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}}{\sin x + \cos x} $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cdot (\sin x + \cos x)} $

Сократим одинаковые множители $ (\sin x + \cos x) $, при условии, что $ \sin x + \cos x \neq 0 $:

$ \frac{1}{\sin x} $

Таким образом, левая часть выражения равна $ \frac{1}{\sin x} $, а не $ \sin x $. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Доказанное верное тождество:

Ответ: $ \frac{1 + \text{ctg}x}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{\sin x} $.

4)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Используем определение тангенса: $ \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

$ \frac{\sin x - \cos x}{1 - \text{tg}x} = \frac{\sin x - \cos x}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}} $

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

$ \frac{\sin x - \cos x}{\frac{\cos x - \sin x}{\cos x}} $

Разделим числитель на знаменатель, умножив на обратную дробь. Для удобства вынесем $ -1 $ в знаменателе:

$ (\sin x - \cos x) \cdot \frac{\cos x}{\cos x - \sin x} = (\sin x - \cos x) \cdot \frac{\cos x}{-(\sin x - \cos x)} $

Сократим одинаковые множители $ (\sin x - \cos x) $, при условии, что $ \sin x - \cos x \neq 0 $:

$ -\cos x $

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin x - \cos x}{1 - \text{tg}x} = -\cos x $.