Номер 22.6, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.6. Преобразуйте выражение:

1) $\cos^2 \alpha + \frac{\text{tg}^2 \alpha - 1}{\text{tg}^2 \alpha + 1}$;

2) $\sin^2 \varphi + \frac{\text{ctg}^2 \varphi - 1}{\text{ctg}^2 \varphi + 1}$;

3) $\frac{\text{ctg}^2 \gamma - 1}{\text{ctg}^2 \gamma + 1} - \cos^2 \gamma$;

4) $\frac{\text{tg}^2 x - 1}{\text{tg}^2 x + 1} - \sin^2 x$.

1)Исходное выражение: $cos^2 \alpha + \frac{\text{tg}^2 \alpha - 1}{\text{tg}^2 \alpha + 1}$.
Для преобразования дроби воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Заменим $\text{tg} \alpha$ на $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$\frac{\text{tg}^2 \alpha - 1}{\text{tg}^2 \alpha + 1} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 1}$
Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю $\cos^2 \alpha$:
$\frac{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, упростим знаменатель дроби:
$\frac{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$cos^2 \alpha + (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Ответ: $\sin^2 \alpha$.

2)Исходное выражение: $\sin^2 \phi + \frac{\text{ctg}^2 \phi - 1}{\text{ctg}^2 \phi + 1}$.
Преобразуем дробь, используя тождество $\text{ctg} \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi}$:
$\frac{\text{ctg}^2 \phi - 1}{\text{ctg}^2 \phi + 1} = \frac{\frac{\cos^2 \phi}{\sin^2 \phi} - 1}{\frac{\cos^2 \phi}{\sin^2 \phi} + 1}$
Приведем числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю $\sin^2 \phi$:
$\frac{\frac{\cos^2 \phi - \sin^2 \phi}{\sin^2 \phi}}{\frac{\cos^2 \phi + \sin^2 \phi}{\sin^2 \phi}}$
Так как $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1$, получаем:
$\frac{\frac{\cos^2 \phi - \sin^2 \phi}{\sin^2 \phi}}{\frac{1}{\sin^2 \phi}} = \cos^2 \phi - \sin^2 \phi$
Подставим результат в исходное выражение:
$\sin^2 \phi + (\cos^2 \phi - \sin^2 \phi) = \sin^2 \phi + \cos^2 \phi - \sin^2 \phi = \cos^2 \phi$.
Ответ: $\cos^2 \phi$.

3)Исходное выражение: $\frac{\text{ctg}^2 \gamma - 1}{\text{ctg}^2 \gamma + 1} - \cos^2 \gamma$.
Аналогично предыдущему пункту, преобразуем дробную часть. Мы уже выяснили, что:
$\frac{\text{ctg}^2 \gamma - 1}{\text{ctg}^2 \gamma + 1} = \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma$
Подставим это выражение в исходное:
$(\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma) - \cos^2 \gamma = \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma - \cos^2 \gamma = -\sin^2 \gamma$.
Ответ: $-\sin^2 \gamma$.

4)Исходное выражение: $\frac{\text{tg}^2 x - 1}{\text{tg}^2 x + 1} - \sin^2 x$.
Аналогично первому пункту, преобразуем дробь. Мы уже установили, что:
$\frac{\text{tg}^2 x - 1}{\text{tg}^2 x + 1} = \sin^2 x - \cos^2 x$
Подставим это выражение в исходное:
$(\sin^2 x - \cos^2 x) - \sin^2 x = \sin^2 x - \cos^2 x - \sin^2 x = -\cos^2 x$.
Ответ: $-\cos^2 x$.