Номер 22.11, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.11. Найдите значение выражения:

1) $ \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha $, если $ \text{tg}\alpha = \frac{1}{3} $;

2) $ 3\text{sin}^2\alpha + 2\text{cos}^2\alpha $, если $ \text{sin}\alpha = \frac{1}{3} $.

1) Дано выражение $tg^2\alpha + ctg^2\alpha$ и известно, что $tg\alpha = \frac{1}{3}$.
Для решения воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$.
Найдем значение $ctg\alpha$:
$ctg\alpha = \frac{1}{1/3} = 3$.
Теперь найдем значения квадратов тангенса и котангенса:
$tg^2\alpha = (tg\alpha)^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
$ctg^2\alpha = (ctg\alpha)^2 = 3^2 = 9$.
Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним сложение:
$tg^2\alpha + ctg^2\alpha = \frac{1}{9} + 9 = \frac{1}{9} + \frac{81}{9} = \frac{1 + 81}{9} = \frac{82}{9}$.
Ответ: $\frac{82}{9}$.

2) Дано выражение $3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha$ и известно, что $\sin\alpha = \frac{1}{3}$.
Для решения преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Представим $3\sin^2\alpha$ в виде суммы $2\sin^2\alpha + \sin^2\alpha$:
$3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = (2\sin^2\alpha + \sin^2\alpha) + 2\cos^2\alpha$.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель 2 за скобки:
$\sin^2\alpha + (2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha) = \sin^2\alpha + 2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$.
Применяя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, упрощаем выражение:
$\sin^2\alpha + 2(1) = \sin^2\alpha + 2$.
Теперь подставим в полученное выражение известное значение $\sin\alpha = \frac{1}{3}$. Сначала найдем $\sin^2\alpha$:
$\sin^2\alpha = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
Вычислим итоговое значение:
$\frac{1}{9} + 2 = \frac{1}{9} + \frac{18}{9} = \frac{19}{9}$.
Ответ: $\frac{19}{9}$.