Номер 22.14, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.14. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $1 - \sin\gamma \cos\gamma \operatorname{tg}\gamma$, если $\sin\gamma = 0,6$;

2) $\cos^4\beta + \cos^2\beta \cdot \sin^2\beta$, если $\operatorname{tg}\beta = 3$;

3) $\frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta} + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta}$, если $\sin\beta = 0,3$;

4) $\frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} + \frac{\cos\beta}{1 + \sin\beta}$, если $\cos\beta = 0,4$.

1) Упростим выражение $1 - \sin\gamma \cos\gamma \tan\gamma$.
Используя определение тангенса $\tan\gamma = \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}$, подставим его в выражение (при условии, что $\cos\gamma \neq 0$):
$1 - \sin\gamma \cos\gamma \cdot \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma} = 1 - \sin^2\gamma$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \sin^2\gamma = \cos^2\gamma$. Для вычисления нам достаточно выражения $1 - \sin^2\gamma$.
Найдем значение выражения при $\sin\gamma = 0,6$:
$1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Ответ: 0,64.

2) Упростим выражение $\cos^4\beta + \cos^2\beta \cdot \sin^2\beta$.
Вынесем общий множитель $\cos^2\beta$ за скобки:
$\cos^2\beta(\cos^2\beta + \sin^2\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$, получаем:
$\cos^2\beta \cdot 1 = \cos^2\beta$
Теперь найдем значение $\cos^2\beta$, зная, что $\tan\beta = 3$.
Воспользуемся тождеством $1 + \tan^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$:
$1 + 3^2 = \frac{1}{\cos^2\beta}$
$1 + 9 = \frac{1}{\cos^2\beta}$
$10 = \frac{1}{\cos^2\beta}$
$\cos^2\beta = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: 0,1.

3) Упростим выражение $\frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta} + \frac{\sin\beta}{1 - \cos\beta}$.
(Примечание: в условии задачи, вероятно, допущена опечатка, и знаменатель второй дроби должен быть $1 - \cos\beta$, что соответствует стандартному виду подобных заданий и структуре пункта 4).
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \cos\beta)(1 - \cos\beta) = 1 - \cos^2\beta$. По основному тригонометрическому тождеству $1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$.
$\frac{\sin\beta(1 - \cos\beta) + \sin\beta(1 + \cos\beta)}{(1 + \cos\beta)(1 - \cos\beta)} = \frac{\sin\beta - \sin\beta\cos\beta + \sin\beta + \sin\beta\cos\beta}{\sin^2\beta} = \frac{2\sin\beta}{\sin^2\beta}$
Сократим дробь на $\sin\beta$ (при условии, что $\sin\beta \neq 0$):
$\frac{2}{\sin\beta}$
Найдем значение выражения при $\sin\beta = 0,3$:
$\frac{2}{0,3} = \frac{2}{\frac{3}{10}} = \frac{2 \cdot 10}{3} = \frac{20}{3}$.
Ответ: $\frac{20}{3}$.

4) Упростим выражение $\frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} + \frac{\cos\beta}{1 + \sin\beta}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \sin\beta)(1 + \sin\beta) = 1 - \sin^2\beta$. По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2\beta = \cos^2\beta$.
$\frac{\cos\beta(1 + \sin\beta) + \cos\beta(1 - \sin\beta)}{(1 - \sin\beta)(1 + \sin\beta)} = \frac{\cos\beta + \cos\beta\sin\beta + \cos\beta - \cos\beta\sin\beta}{\cos^2\beta} = \frac{2\cos\beta}{\cos^2\beta}$
Сократим дробь на $\cos\beta$ (при условии, что $\cos\beta \neq 0$):
$\frac{2}{\cos\beta}$
Найдем значение выражения при $\cos\beta = 0,4$:
$\frac{2}{0,4} = \frac{2}{\frac{4}{10}} = \frac{2 \cdot 10}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
Ответ: 5.