Номер 22.18, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*22.18. Замените уравнением, не содержащим параметр $\alpha$, систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x = 4\cos\alpha, \\ y = 4\sin\alpha; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x = 4\cos\alpha, \\ y = 6\sin\alpha; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x = \sin\alpha + \cos\alpha, \\ y = \sin\alpha \cos\alpha; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \text{tg}^4\alpha + \text{ctg}^4\alpha = x, \\ \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = y. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}x = 4\cos\alpha, \\y = 4\sin\alpha.\end{cases}$
Чтобы исключить параметр $\alpha$, выразим из уравнений $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{x}{4}$
$\sin\alpha = \frac{y}{4}$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Подставим в него полученные выражения:
$(\frac{x}{4})^2 + (\frac{y}{4})^2 = 1$
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = 1$
Умножив обе части уравнения на 16, получаем итоговое уравнение:
$x^2 + y^2 = 16$
Это уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом 4.
Ответ: $x^2 + y^2 = 16$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}x = 4\cos\alpha, \\y = 6\sin\alpha.\end{cases}$
Аналогично предыдущему пункту, выразим $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{x}{4}$
$\sin\alpha = \frac{y}{6}$
Подставим эти выражения в основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$(\frac{y}{6})^2 + (\frac{x}{4})^2 = 1$
$\frac{y^2}{36} + \frac{x^2}{16} = 1$
Это каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями $a=4$ и $b=6$.
Ответ: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases}x = \sin\alpha + \cos\alpha, \\y = \sin\alpha \cos\alpha.\end{cases}$
Возведем первое уравнение в квадрат:
$x^2 = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$
Используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, упростим выражение:
$x^2 = ( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$
Из второго уравнения системы известно, что $y = \sin\alpha\cos\alpha$. Подставим это во полученное уравнение:
$x^2 = 1 + 2y$
Это уравнение параболы.
Ответ: $x^2 = 1 + 2y$.

4) Дана система уравнений:$\begin{cases}\text{tg}^4\alpha + \text{ctg}^4\alpha = x, \\\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = y.\end{cases}$
Возведем второе уравнение в квадрат:
$y^2 = (\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha)^2 = (\text{tg}^2\alpha)^2 + 2 \cdot \text{tg}^2\alpha \cdot \text{ctg}^2\alpha + (\text{ctg}^2\alpha)^2$
$y^2 = \text{tg}^4\alpha + 2(\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha)^2 + \text{ctg}^4\alpha$
Так как $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$, уравнение принимает вид:
$y^2 = \text{tg}^4\alpha + 2(1)^2 + \text{ctg}^4\alpha = (\text{tg}^4\alpha + \text{ctg}^4\alpha) + 2$
Из первого уравнения системы известно, что $x = \text{tg}^4\alpha + \text{ctg}^4\alpha$. Подставим $x$ в полученное выражение:
$y^2 = x + 2$
Отсюда можно выразить $x$: $x = y^2 - 2$.
Ответ: $x = y^2 - 2$.