Номер 22.19, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.19. Найдите значения $\alpha$, при которых достигается наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha - 3$;

2) $3\cos^2\alpha - \sin^2\alpha + 1$;

3) $4\sin^2\alpha + 3\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha$;

4) $5\cos^2\alpha - \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha$.

1) $sin^2α + 3cos^2α - 3$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2α + cos^2α = 1$. Выразим $cos^2α$ через $sin^2α$:

$sin^2α + 3(1 - sin^2α) - 3 = sin^2α + 3 - 3sin^2α - 3 = -2sin^2α$.

Теперь найдем область значений выражения $-2sin^2α$. Мы знаем, что значения $sinα$ лежат в промежутке $[-1, 1]$, следовательно, значения $sin^2α$ лежат в промежутке $[0, 1]$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда множитель $sin^2α$ принимает свое наименьшее значение, то есть $sin^2α = 0$.

Наибольшее значение: $-2 \cdot 0 = 0$.

Это происходит при $sinα = 0$, то есть при $α = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение выражения достигается, когда множитель $sin^2α$ принимает свое наибольшее значение, то есть $sin^2α = 1$.

Наименьшее значение: $-2 \cdot 1 = -2$.

Это происходит при $sinα = \pm 1$, то есть при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение 0 достигается при $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение -2 достигается при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3cos^2α - sin^2α + 1$

Упростим выражение, используя тождество $sin^2α = 1 - cos^2α$:

$3cos^2α - (1 - cos^2α) + 1 = 3cos^2α - 1 + cos^2α + 1 = 4cos^2α$.

Теперь найдем область значений выражения $4cos^2α$. Значения $cosα$ лежат в промежутке $[-1, 1]$, поэтому значения $cos^2α$ лежат в промежутке $[0, 1]$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда $cos^2α$ принимает свое наибольшее значение, то есть $cos^2α = 1$.

Наибольшее значение: $4 \cdot 1 = 4$.

Это происходит при $cosα = \pm 1$, то есть при $α = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение выражения достигается, когда $cos^2α$ принимает свое наименьшее значение, то есть $cos^2α = 0$.

Наименьшее значение: $4 \cdot 0 = 0$.

Это происходит при $cosα = 0$, то есть при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение 4 достигается при $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение 0 достигается при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $4sin^2α + 3ctgα \cdot tgα$

Упростим выражение. Произведение $ctgα \cdot tgα = 1$. Это равенство справедливо только в области определения тангенса и котангенса, то есть при $sinα \neq 0$ и $cosα \neq 0$. Это соответствует условию $α \neq \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$.

При этих ограничениях выражение равно $4sin^2α + 3$. На указанной области определения $0 < sin^2α < 1$, поэтому $3 < 4sin^2α + 3 < 7$. В этом случае выражение не достигает своих наибольшего и наименьшего значений, а лишь стремится к ним.

Однако, в рамках школьной задачи обычно предполагается, что нужно найти точную верхнюю и нижнюю грань множества значений и значения $α$, при которых они достигаются, если снять ограничения на область определения.

Рассмотрим функцию $f(α) = 4sin^2α + 3$.

Наибольшее значение достигается, когда $sin^2α$ максимально, то есть $sin^2α=1$. Наибольшее значение: $4 \cdot 1 + 3 = 7$. Это соответствует $sinα = \pm 1$, то есть $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение достигается, когда $sin^2α$ минимально, то есть $sin^2α=0$. Наименьшее значение: $4 \cdot 0 + 3 = 3$. Это соответствует $sinα = 0$, то есть $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение 7 достигается при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение 3 достигается при $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $5cos^2α - ctgα \cdot tgα$

Аналогично предыдущему пункту, упростим выражение. Произведение $ctgα \cdot tgα = 1$ при условии, что $α \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. При этом условии выражение равно $5cos^2α - 1$.

На области определения $0 < cos^2α < 1$, поэтому $-1 < 5cos^2α - 1 < 4$. Строго говоря, на своей области определения выражение не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Будем искать точные верхнюю и нижнюю грани и значения $α$, при которых они могли бы достигаться, как это обычно предполагается в подобных задачах. Рассмотрим функцию $f(α) = 5cos^2α - 1$.

Наибольшее значение достигается, когда $cos^2α$ максимально, то есть $cos^2α=1$. Наибольшее значение: $5 \cdot 1 - 1 = 4$. Это соответствует $cosα = \pm 1$, то есть $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение достигается, когда $cos^2α$ минимально, то есть $cos^2α=0$. Наименьшее значение: $5 \cdot 0 - 1 = -1$. Это соответствует $cosα = 0$, то есть $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение 4 достигается при $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение -1 достигается при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.