Номер 22.12, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.12. Упростите выражение:

1) $ \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} + \sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}; $

2) $ \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}} + \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}. $

1)

Для упрощения выражения $ \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} + \sqrt{1 + \text{ctg}^2 \alpha} $ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ следует, что $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $.

Также используем тождество $ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.

Подставим эти тождества в исходное выражение. При извлечении квадратного корня из квадрата функции необходимо использовать модуль, так как результат корня должен быть неотрицательным: $ \sqrt{x^2} = |x| $.

Преобразуем первый член выражения:
$ \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{|\sin \alpha|} $.

Преобразуем второй член выражения:
$ \sqrt{1 + \text{ctg}^2 \alpha} = \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{|\sin \alpha|} $.

Теперь сложим полученные дроби: $ \frac{1}{|\sin \alpha|} + \frac{1}{|\sin \alpha|} = \frac{1+1}{|\sin \alpha|} = \frac{2}{|\sin \alpha|} $.

Область допустимых значений выражения определяется условиями: подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным ($1 - \cos^2 \alpha > 0$, что эквивалентно $\sin^2 \alpha > 0$ или $\sin \alpha \neq 0$), и должен существовать котангенс ($\sin \alpha \neq 0$). Оба условия совпадают.

Ответ: $ \frac{2}{|\sin \alpha|} $

2)

Для упрощения выражения $ \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} + \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $ также воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Используем тождество $ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \sec^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Из основного тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ следует, что $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.

Подставим тождества в исходное выражение, не забывая про модуль при извлечении корня.

Преобразуем первый член выражения:
$ \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}} = \frac{1}{\frac{1}{|\cos \alpha|}} = |\cos \alpha| $.

Преобразуем второй член выражения:
$ \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{\cos^2 \alpha} = |\cos \alpha| $.

Теперь сложим полученные выражения: $ |\cos \alpha| + |\cos \alpha| = 2|\cos \alpha| $.

Область допустимых значений определяется условием существования тангенса, то есть $ \cos \alpha \neq 0 $. При этом условии $ 1 + \text{tg}^2 \alpha $ всегда положительно, а $ 1 - \sin^2 \alpha $ всегда неотрицательно.

Ответ: $ 2|\cos \alpha| $