Номер 22.7, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.7. Упростите выражение:

1) $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$;

2) $\frac{2\sin^2 \alpha - 1}{\sin\alpha + \cos\alpha}$;

3) $\frac{\cos^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \text{tg}^3 \alpha}$;

4) $\text{ctg}\beta + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta}$.

1)

Для упрощения данного выражения представим котангенсы в знаменателе через тангенсы, используя тождество $\text{ctg}x = \frac{1}{\text{tg}x}$.

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta} = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta$:

$\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta} = \frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$(\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$

Сокращаем одинаковые множители $(\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta)$ в числителе и знаменателе и получаем конечный результат:

$\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta$

Ответ: $\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta$

2)

Для упрощения этого выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Заменим $1$ в числителе на это выражение:

$\frac{2\sin^2\alpha - 1}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2\sin^2\alpha - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$

Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\sin\alpha + \cos\alpha}$

Сокращаем общий множитель $(\sin\alpha + \cos\alpha)$ в числителе и знаменателе:

$\sin\alpha - \cos\alpha$

Ответ: $\sin\alpha - \cos\alpha$

3)

Представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Преобразуем числитель:

$\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha = \cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \cos^2\alpha \left(1 - \frac{1}{\sin^2\alpha}\right) = \cos^2\alpha \left(\frac{\sin^2\alpha - 1}{\sin^2\alpha}\right)$

Используя тождество $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$, получаем:

$\cos^2\alpha \left(\frac{-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right) = -\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}$

Теперь преобразуем знаменатель:

$\sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \sin^2\alpha \left(1 - \frac{1}{\cos^2\alpha}\right) = \sin^2\alpha \left(\frac{\cos^2\alpha - 1}{\cos^2\alpha}\right)$

Используя тождество $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$, получаем:

$\sin^2\alpha \left(\frac{-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right) = -\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}$

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{-\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}{-\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{\cos^6\alpha}{\sin^6\alpha} = \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^6 = \text{ctg}^6\alpha$

Ответ: $\text{ctg}^6\alpha$

4)

Для упрощения выражения представим котангенс через синус и косинус и приведем сумму к общему знаменателю.

$\text{ctg}\beta + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta}$

Общий знаменатель будет $\sin\beta(1 + \cos\beta)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{\cos\beta(1 + \cos\beta)}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} + \frac{\sin\beta \cdot \sin\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)}$

Сложим числители:

$\frac{\cos\beta(1 + \cos\beta) + \sin^2\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} = \frac{\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$, заменим сумму квадратов в числителе на единицу:

$\frac{\cos\beta + 1}{\sin\beta(1 + \cos\beta)}$

Сократим общий множитель $(1 + \cos\beta)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{\sin\beta}$

Ответ: $\frac{1}{\sin\beta}$