Номер 22.2, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.2. Упростите выражение:

1) $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha}$;

2) $\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin \alpha}$;

3) $\sin^2 \alpha - (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha) \cdot \cos^2 \alpha$;

4) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot (1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha) \cdot \sin^2 \alpha$.

1) Для упрощения выражения $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Из этого тождества следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Подставим это в числитель дроби:
$\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}$
Сократим дробь на $\cos \alpha$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):
$\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha} = \cos \alpha$.
Ответ: $\cos \alpha$.

2) Для упрощения выражения $\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin \alpha}$ снова используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Выразим из него $\cos^2 \alpha - 1$:
$\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin \alpha} = \frac{-\sin^2 \alpha}{\sin \alpha}$
Сократим дробь на $\sin \alpha$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$):
$\frac{-\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = -\sin \alpha$.
Ответ: $-\sin \alpha$.

3) Упростим выражение $\sin^2 \alpha - (1 + \text{tg}^2 \alpha) \cdot \cos^2 \alpha$.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\sin^2 \alpha - \left(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) \cdot \cos^2 \alpha$
Произведение $\left(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) \cdot \cos^2 \alpha = 1$.
Таким образом, выражение упрощается до:
$\sin^2 \alpha - 1$
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.
Ответ: $-\cos^2 \alpha$.

4) Упростим выражение $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot (1 + \text{ctg}^2 \alpha) \cdot \sin^2 \alpha$.
Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
Подставим его в исходное выражение:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cdot \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) \cdot \sin^2 \alpha$
Теперь упростим второе слагаемое. Множители $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$ и $\sin^2 \alpha$ взаимно сокращаются:
$\cos^2 \alpha \cdot \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) \cdot \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$
Подставим упрощенное слагаемое обратно в выражение:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$
Это основное тригонометрическое тождество, которое равно 1.
Ответ: $1$.