Номер 21.26, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.26. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x^2 - y^2 = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 18, \\ xy = 9. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$x^2+y^2=5,$
$x^2-y^2=3;$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $y^2$:

$(x^2+y^2) + (x^2-y^2) = 5+3$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x^2$:

$(x^2+y^2) - (x^2-y^2) = 5-3$

$2y^2 = 2$

$y^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Поскольку в исходные уравнения переменные входят только в квадрате, решением будет любая пара $(x, y)$, где $x \in \{2, -2\}$ и $y \in \{1, -1\}$.

Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2; 1)$, $(2; -1)$, $(-2; 1)$, $(-2; -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$x^2+y^2=18,$
$xy=9.$

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$ (заметим, что $x \neq 0$, поскольку иначе произведение $xy$ было бы равно 0, а не 9):

$y = \frac{9}{x}$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 + \left(\frac{9}{x}\right)^2 = 18$

$x^2 + \frac{81}{x^2} = 18$

Умножим все члены уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от дроби:

$x^4 + 81 = 18x^2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 18x^2 + 81 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 18t + 81 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом:

$(t-9)^2 = 0$

Отсюда $t-9 = 0$, значит, $t=9$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$x^2 = 9$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$:

1) Если $x = 3$, то $y = \frac{9}{3} = 3$. Получаем решение $(3; 3)$.

2) Если $x = -3$, то $y = \frac{9}{-3} = -3$. Получаем решение $(-3; -3)$.

Ответ: $(3; 3)$, $(-3; -3)$.