Номер 21.24, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*21.24. Найдите период функции $y = f(x):$

1) $y = \sin2\pi x + \cos4\pi x;$

2) $y = \sin\pi x + \cos2\pi x;$

3) $y = \cos4\pi x + \sin8\pi x;$

4) $y = \operatorname{tg}4\pi x + \sin2\pi x.$

1) Чтобы найти период функции $y = \sin(2\pi x) + \cos(4\pi x)$, нужно найти периоды каждого слагаемого, а затем их наименьшее общее кратное (НОК).
Функция $f_1(x) = \sin(2\pi x)$ имеет вид $\sin(kx)$, где $k=2\pi$. Её основной период $T_1$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
$T_1 = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$.
Функция $f_2(x) = \cos(4\pi x)$ имеет вид $\cos(kx)$, где $k=4\pi$. Её основной период $T_2$ вычисляется по той же формуле.
$T_2 = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.
Период $T$ функции $y$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$ и $T_2$.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, \frac{1}{2}) = 1$.
Ответ: 1.

2) Рассмотрим функцию $y = \sin(\pi x) + \cos(2\pi x)$. Она является суммой функций $f_1(x) = \sin(\pi x)$ и $f_2(x) = \cos(2\pi x)$.
Найдем период для $f_1(x) = \sin(\pi x)$. Здесь $k=\pi$.
$T_1 = \frac{2\pi}{|\pi|} = 2$.
Найдем период для $f_2(x) = \cos(2\pi x)$. Здесь $k=2\pi$.
$T_2 = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.
Период $T$ исходной функции равен НОК периодов слагаемых.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2, 1) = 2$.
Ответ: 2.

3) Рассмотрим функцию $y = \cos(4\pi x) + \sin(8\pi x)$. Она является суммой функций $f_1(x) = \cos(4\pi x)$ и $f_2(x) = \sin(8\pi x)$.
Найдем период для $f_1(x) = \cos(4\pi x)$. Здесь $k=4\pi$.
$T_1 = \frac{2\pi}{|4\pi|} = \frac{1}{2}$.
Найдем период для $f_2(x) = \sin(8\pi x)$. Здесь $k=8\pi$.
$T_2 = \frac{2\pi}{|8\pi|} = \frac{1}{4}$.
Период $T$ исходной функции равен НОК периодов слагаемых.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Рассмотрим функцию $y = \text{tg}(4\pi x) + \sin(2\pi x)$. Она является суммой функций $f_1(x) = \text{tg}(4\pi x)$ и $f_2(x) = \sin(2\pi x)$.
Период функции вида $\text{tg}(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.
Для $f_1(x) = \text{tg}(4\pi x)$ имеем $k=4\pi$.
$T_1 = \frac{\pi}{|4\pi|} = \frac{1}{4}$.
Период функции вида $\sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для $f_2(x) = \sin(2\pi x)$ имеем $k=2\pi$.
$T_2 = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.
Период $T$ исходной функции равен НОК периодов слагаемых.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{1}{4}, 1) = 1$.
Ответ: 1.