Номер 21.22, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*21.22. Известно, что функция $y = f(x)$ задана на множестве $R$ и имеет период $T = 4$. При $x \in [0; 4]$ функция задана формулой $y = x^2 - 4x$. Постройте график функции $y = f(x)$ на $R$.

Для построения графика функции $y = f(x)$ на всей числовой прямой $R$ необходимо сначала построить ее график на заданном промежутке, а затем, используя свойство периодичности, продолжить его на всю область определения.

1. Построение графика на отрезке $[0; 4]$.

На отрезке $x \in [0; 4]$ функция задана формулой $y = x^2 - 4x$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_в = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2; -4)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат на данном отрезке:

С осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.

С осью $Ox$: при $y = 0$, $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$. Корни $x = 0$ и $x = 4$. Точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Итак, на отрезке $[0; 4]$ график функции представляет собой дугу параболы, проходящую через точки $(0; 0)$, $(4; 0)$ и имеющую вершину в точке $(2; -4)$.

2. Построение графика на множестве $R$.

Известно, что функция является периодической с периодом $T = 4$. Это означает, что $f(x + 4) = f(x)$ для любого $x \in R$. Следовательно, для построения всего графика нужно взять построенный на отрезке $[0; 4]$ фрагмент и параллельно переносить его вдоль оси $Ox$ на $4n$ единиц, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).

Таким образом, график функции будет состоять из бесконечно повторяющихся дуг параболы.

Ответ: