Номер 21.18, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.18. Известно, что $0 < \alpha < 90^\circ$. Докажите неравенство:

1) $\sin\alpha > \sin^4\alpha$;

2) $\cos\alpha > \cos^4\alpha$;

3) $\sin\alpha > \sin\alpha \cdot \cos\alpha$;

4) $\operatorname{tg}\alpha > \sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha$.

1) Докажем неравенство $\sin\alpha > \sin^4\alpha$. По условию $0 < \alpha < 90°$, следовательно, значения синуса находятся в интервале $0 < \sin\alpha < 1$. Перенесем все члены неравенства в левую часть: $\sin\alpha - \sin^4\alpha > 0$

Вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки: $\sin\alpha (1 - \sin^3\alpha) > 0$

Рассмотрим каждый множитель:

1. Поскольку $0 < \alpha < 90°$, то $\sin\alpha > 0$.

2. Так как $0 < \sin\alpha < 1$, то при возведении в куб это неравенство сохраняется: $0 < \sin^3\alpha < 1$. Отсюда следует, что разность $1 - \sin^3\alpha$ положительна.

Произведение двух положительных множителей ($\sin\alpha$ и $1 - \sin^3\alpha$) является положительным числом. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

2) Докажем неравенство $\cos\alpha > \cos^4\alpha$. По условию $0 < \alpha < 90°$, следовательно, значения косинуса находятся в интервале $0 < \cos\alpha < 1$. Перенесем все члены неравенства в левую часть: $\cos\alpha - \cos^4\alpha > 0$

Вынесем общий множитель $\cos\alpha$ за скобки: $\cos\alpha (1 - \cos^3\alpha) > 0$

Рассмотрим каждый множитель:

1. Поскольку $0 < \alpha < 90°$, то $\cos\alpha > 0$.

2. Так как $0 < \cos\alpha < 1$, то при возведении в куб это неравенство сохраняется: $0 < \cos^3\alpha < 1$. Отсюда следует, что разность $1 - \cos^3\alpha$ положительна.

Произведение двух положительных множителей ($\cos\alpha$ и $1 - \cos^3\alpha$) является положительным числом. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

3) Докажем неравенство $\sin\alpha > \sin\alpha \cdot \cos\alpha$. По условию $0 < \alpha < 90°$, следовательно, $\sin\alpha > 0$ и $0 < \cos\alpha < 1$. Перенесем все члены неравенства в левую часть: $\sin\alpha - \sin\alpha \cdot \cos\alpha > 0$

Вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки: $\sin\alpha (1 - \cos\alpha) > 0$

Рассмотрим каждый множитель:

1. Поскольку $0 < \alpha < 90°$, то $\sin\alpha > 0$.

2. Так как $0 < \cos\alpha < 1$, то разность $1 - \cos\alpha$ положительна.

Произведение двух положительных множителей ($\sin\alpha$ и $1 - \cos\alpha$) является положительным числом. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

4) Докажем неравенство $\tan\alpha > \sin\alpha \cdot \tan\alpha$. По условию $0 < \alpha < 90°$, следовательно, $\tan\alpha > 0$ и $0 < \sin\alpha < 1$. Перенесем все члены неравенства в левую часть: $\tan\alpha - \sin\alpha \cdot \tan\alpha > 0$

Вынесем общий множитель $\tan\alpha$ за скобки: $\tan\alpha (1 - \sin\alpha) > 0$

Рассмотрим каждый множитель:

1. Поскольку $0 < \alpha < 90°$, то $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > 0$, так как и синус, и косинус положительны.

2. Так как $0 < \sin\alpha < 1$, то разность $1 - \sin\alpha$ положительна.

Произведение двух положительных множителей ($\tan\alpha$ и $1 - \sin\alpha$) является положительным числом. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.