Номер 21.12, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.12. По графику функции $y = f(x)$ выясните, является ли функция периодической. Если функция $y = f(x)$ периодическая, то найдите ее период (рис. 72).

1)

2)

3)

Рис. 72

1)

Чтобы определить, является ли функция периодической, нужно посмотреть, повторяется ли ее график через какой-либо определенный интервал по оси $x$. На данном графике видно, что форма функции повторяется. Например, участок графика на интервале $x \in [-1, 0)$ в точности такой же, как и на интервале $x \in [0, 1)$, на интервале $x \in [1, 2)$ и так далее. То же самое верно и для отрицательных значений $x$. Длина такого повторяющегося интервала равна $1 - 0 = 1$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+1) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической, а ее наименьший положительный период $T$ равен 1.
Ответ: функция является периодической, ее период $T = 1$.

2)

Анализируя данный график, мы видим отчетливый повторяющийся узор. Узор состоит из одного "горба" над осью $x$ и одного острого "всплеска" вниз под осью $x$. Рассмотрим интервал $x \in [0, 1]$. На этом интервале график сначала образует дугу над осью $x$ (на $x \in [0, 0.5]$), а затем V-образную фигуру под осью $x$ (на $x \in [0.5, 1]$). Этот полный цикл имеет длину $1 - 0 = 1$. Та же самая последовательность форм повторяется на каждом последующем интервале длины 1, например на $x \in [1, 2]$, $x \in [2, 3]$, а также на $x \in [-1, 0]$, $x \in [-2, -1]$ и т.д. Таким образом, для любого $x$ выполняется условие $f(x+1) = f(x)$. Это означает, что функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 1$.
Ответ: функция является периодической, ее период $T = 1$.

3)

Данный график представляет собой ступенчатую функцию. Значение функции постоянно на каждом интервале вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число. Однако, при переходе от одного интервала к следующему (при увеличении $x$), значение функции увеличивается. Например, на интервале $x \in [0, 1)$ функция принимает одно значение, а на интервале $x \in [1, 2)$ — другое, большее значение. Поскольку значения функции не повторяются, а постоянно возрастают, на графике нет повторяющегося узора. Если сдвинуть график вдоль оси $x$ на любое число $T > 0$, он не совпадет с исходным. Условие периодичности $f(x+T) = f(x)$ не выполняется ни для какого $T > 0$. Следовательно, данная функция не является периодической.
Ответ: функция не является периодической.