Страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

2.6. Докажите, что графики уравнений $x - y = 4$ и $y = 5 - 5x + x^2$ пересекаются только в одной точке. Найдите координаты этой точки.

Для того чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений, так как координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 4 \\ y = 5 - 5x + x^2\end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = x - 4$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x - 4 = 5 - 5x + x^2$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = x^2 - 5x - x + 5 + 4$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Количество точек пересечения графиков равно количеству действительных корней этого квадратного уравнения. Чтобы доказать, что точка пересечения единственная, нужно показать, что уравнение имеет только один корень. Для этого найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты $a=1$, $b=-6$, $c=9$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Так как дискриминант равен нулю ($D=0$), квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это доказывает, что графики данных уравнений пересекаются только в одной точке.

Теперь найдем координаты этой точки. Сначала найдем значение $x$, решив уравнение. Заметим, что левая часть является полным квадратом разности:

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда получаем:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=3$ в уравнение $y = x - 4$:

$y = 3 - 4 = -1$

Таким образом, единственная точка пересечения графиков имеет координаты $(3; -1)$.

Ответ: Доказательством того, что графики пересекаются только в одной точке, является тот факт, что система уравнений, описывающая их пересечение, сводится к квадратному уравнению $x^2 - 6x + 9 = 0$, дискриминант которого равен нулю ($D=0$), что означает наличие только одного действительного корня. Координаты этой точки пересечения: $(3; -1)$.

2.7. Найдите значения параметра p, при котором система уравнений:

1) $\begin{cases} y - x^2 = 1, \\ y + x = p; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y - x^2 = -2, \\ y + |x| = p; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y^2 + x^2 = 4, \\ y + x = p \end{cases}$

а) имеет два решения;

б) имеет одно решение;

в) не имеет решений.

1)Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y - x^2 = 1 \\ y + x = p \end{cases} $.Для решения этой задачи можно использовать аналитический или графический метод.Первое уравнение, $y = x^2 + 1$, задает параболу с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх.Второе уравнение, $y = -x + p$, задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$. Параметр $p$ определяет сдвиг прямой вдоль оси $y$ (является y-пересечением).Количество решений системы равно количеству точек пересечения параболы и прямой.
Выразим $y$ из второго уравнения ($y = p - x$) и подставим в первое:$(p - x) - x^2 = 1$$x^2 + x + (1 - p) = 0$Это квадратное уравнение относительно $x$. Количество его корней зависит от знака дискриминанта $D$.$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - p) = 1 - 4 + 4p = 4p - 3$.

а) имеет два решения
Система имеет два решения, когда квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при $D > 0$.$4p - 3 > 0$$4p > 3$$p > 3/4$
Ответ: $p \in (3/4; +\infty)$.

б) имеет одно решение
Система имеет одно решение, когда квадратное уравнение имеет один действительный корень, то есть при $D = 0$. Это соответствует случаю, когда прямая касается параболы.$4p - 3 = 0$$p = 3/4$
Ответ: $p = 3/4$.

в) не имеет решений
Система не имеет решений, когда квадратное уравнение не имеет действительных корней, то есть при $D < 0$.$4p - 3 < 0$$p < 3/4$
Ответ: $p \in (-\infty; 3/4)$.

2)Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y - x^2 = -2 \\ y + |x| = p \end{cases} $.Решим задачу графически. Первое уравнение, $y = x^2 - 2$, — это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями вверх.Второе уравнение, $y = -|x| + p$, задает график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, p)$ (вершина "галочки"). При $x \ge 0$ это $y = -x + p$, а при $x < 0$ это $y = x + p$.Количество решений системы — это количество точек пересечения параболы и "галочки".
Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Вершина "галочки" находится в точке $(0, p)$.

а) имеет два решения
Если вершина "галочки" $(0, p)$ находится выше вершины параболы $(0, -2)$, то есть $p > -2$, то графики пересекаются в двух точках (симметрично относительно оси Oy).
Ответ: $p \in (-2; +\infty)$.

б) имеет одно решение
Если вершины графиков совпадают, то есть $p = -2$, то они имеют одну общую точку $(0, -2)$. При любом $x \ne 0$ парабола будет лежать выше "галочки" ($x^2-2 > -|x|-2 \Leftrightarrow x^2 > -|x|$), поэтому других пересечений нет.
Ответ: $p = -2$.

в) не имеет решений
Если вершина "галочки" $(0, p)$ находится ниже вершины параболы $(0, -2)$, то есть $p < -2$, то "галочка" полностью лежит под параболой, и пересечений нет.
Ответ: $p \in (-\infty; -2)$.

3)Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y^2 + x^2 = 4 \\ y + x = p \end{cases} $.Графиком первого уравнения $x^2 + y^2 = 2^2$ является окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$.Графиком второго уравнения $y = -x + p$ является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$.Число решений системы равно числу точек пересечения окружности и прямой.
Количество решений зависит от расстояния $d$ от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x + y - p = 0$.$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - p|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-p|}{\sqrt{2}} = \frac{|p|}{\sqrt{2}}$.

а) имеет два решения
Два решения существуют, когда прямая пересекает окружность, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса: $d < R$.$\frac{|p|}{\sqrt{2}} < 2 \implies |p| < 2\sqrt{2}$$-2\sqrt{2} < p < 2\sqrt{2}$
Ответ: $p \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.

б) имеет одно решение
Одно решение существует, когда прямая касается окружности, то есть расстояние от центра до прямой равно радиусу: $d = R$.$\frac{|p|}{\sqrt{2}} = 2 \implies |p| = 2\sqrt{2}$$p = 2\sqrt{2}$ или $p = -2\sqrt{2}$
Ответ: $p = \pm 2\sqrt{2}$.

в) не имеет решений
Решений нет, когда прямая не пересекает окружность, то есть расстояние от центра до прямой больше радиуса: $d > R$.$\frac{|p|}{\sqrt{2}} > 2 \implies |p| > 2\sqrt{2}$$p > 2\sqrt{2}$ или $p < -2\sqrt{2}$
Ответ: $p \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.

2.8. При каких значениях параметра p система уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ |y - |x|| = p \end{cases} $

имеет:

1) три решения;

2) одно решение;

3) не имеет решений?

Для решения задачи используем графический метод. Система состоит из двух уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 9$ — это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=3$.

2. $|y - |x|| = p$ — это уравнение задает семейство графиков, зависящих от параметра $p$.

Раскроем второе уравнение. Так как модуль — величина неотрицательная, то $p \ge 0$. Если $p < 0$, система не имеет решений.

При $p \ge 0$ уравнение $|y - |x|| = p$ равносильно совокупности двух уравнений:

$y - |x| = p \quad \Rightarrow \quad y = |x| + p$

$y - |x| = -p \quad \Rightarrow \quad y = |x| - p$

График $y = |x|$ — это "галочка" с вершиной в начале координат, состоящая из биссектрис первого и второго координатных углов. Графики $y = |x| + p$ и $y = |x| - p$ получаются из графика $y = |x|$ сдвигом вдоль оси OY на $p$ единиц вверх и вниз соответственно. Таким образом, второе уравнение при $p > 0$ задает пару "галочек", симметричных относительно оси OX, с вершинами в точках $(0, p)$ и $(0, -p)$. При $p=0$ эти две "галочки" сливаются в одну: $y=|x|$.

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 9$ и пары графиков $y = |x| \pm p$.

Проанализируем симметрию. График окружности $x^2 + y^2 = 9$ симметричен относительно оси OY. График $|y - |x|| = p$ также симметричен относительно оси OY, так как замена $x$ на $-x$ не меняет уравнение ($|-x| = |x|$).Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ с $x_0 \neq 0$ является решением системы, то и точка $(-x_0, y_0)$ также является решением. Следовательно, все решения, не лежащие на оси OY, появляются парами.Найдем решения на оси OY (при $x=0$):$0^2 + y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3$.$|y - |0|| = p \Rightarrow |y| = p$.Для точки $(0, 3)$ имеем $|3|=p$, то есть $p=3$.Для точки $(0, -3)$ имеем $|-3|=p$, то есть $p=3$.Таким образом, решения на оси OY существуют только при $p=3$, и их два: $(0, 3)$ и $(0, -3)$.Поскольку решения вне оси OY появляются парами, а на оси OY их либо нет (при $p \ne 3$), либо две (при $p=3$), общее количество решений системы всегда является четным числом (0, 2, 4, ...).Из этого следует, что система не может иметь нечетное число решений (1 или 3).

1) три решения

Исходя из проведенного анализа симметрии, система не может иметь нечетное количество решений. Таким образом, не существует таких значений параметра $p$, при которых система имела бы ровно три решения.

Ответ: таких значений $p$ нет.

2) одно решение

Исходя из проведенного анализа симметрии, система не может иметь нечетное количество решений. Таким образом, не существует таких значений параметра $p$, при которых система имела бы ровно одно решение.

Ответ: таких значений $p$ нет.

3) не имеет решений

Система не имеет решений в следующих случаях:

а) Если $p < 0$. В этом случае уравнение $|y - |x|| = p$ не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным.

б) Если $p \ge 0$, но графики не пересекаются. График $y = |x| + p$ не пересекает окружность, если его вершина $(0, p)$ находится выше верхней точки окружности, то есть при $p > 3$. При этом нам нужно, чтобы и второй график $y = |x| - p$ также не пересекал окружность.Найдем условие касания прямой $y = x - p$ (правая ветвь "галочки" $y=|x|-p$) и окружности $x^2 + y^2 = 9$. Расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x - y - p = 0$ должно быть равно радиусу $R=3$:$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - p|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-p|}{\sqrt{2}} = \frac{p}{\sqrt{2}}$ (так как $p \ge 0$).Приравниваем расстояние радиусу: $\frac{p}{\sqrt{2}} = 3 \Rightarrow p = 3\sqrt{2}$.При $p = 3\sqrt{2}$ происходит касание. Если $p > 3\sqrt{2}$, то "галочка" $y = |x| - p$ проходит ниже окружности и не имеет с ней общих точек. Поскольку $3\sqrt{2} \approx 4.24 > 3$, условие $p>3$ для верхней "галочки" также выполняется.Следовательно, при $p > 3\sqrt{2}$ система не имеет решений.

Объединяя оба случая, получаем, что система не имеет решений при $p < 0$ или $p > 3\sqrt{2}$.

Ответ: $p \in (-\infty, 0) \cup (3\sqrt{2}, +\infty)$.

2.9. Решите уравнение:

1) $x^4 - 8x^2 + 4 = 0;$

2) $3x^4 - 5x^2 + 2 = 0;$

3) $(4x^2 - 1)^2 - 3(1 - 8x^2) + 6 = 0;$

4) $(x^2 + 1)^2 - 3(1 - x^2) - 4 = 0.$

1) Решим биквадратное уравнение $x^4 - 8x^2 + 4 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид:
$y^2 - 8y + 4 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$.
$\sqrt{D} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Корни для $y$:
$y_1 = \frac{-(-8) + 4\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{2} = 4 + 2\sqrt{3}$.
$y_2 = \frac{-(-8) - 4\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{2} = 4 - 2\sqrt{3}$.
Оба корня положительны, так как $4 = \sqrt{16}$, а $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$, поэтому $4 > 2\sqrt{3}$ и $y_2 > 0$.
Теперь выполним обратную замену $x^2 = y$.
Для $y_1 = 4 + 2\sqrt{3}$:
$x^2 = 4 + 2\sqrt{3}$. Заметим, что $4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{3} + 1)^2$.
$x^2 = (\sqrt{3} + 1)^2$, откуда $x_{1,2} = \pm(\sqrt{3} + 1)$.
Для $y_2 = 4 - 2\sqrt{3}$:
$x^2 = 4 - 2\sqrt{3}$. Заметим, что $4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{3} - 1)^2$.
$x^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$, откуда $x_{3,4} = \pm(\sqrt{3} - 1)$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $\pm(\sqrt{3} + 1); \pm(\sqrt{3} - 1)$.

2) Решим биквадратное уравнение $3x^4 - 5x^2 + 2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:
$3t^2 - 5t + 2 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
$t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Оба корня положительны, поэтому подходят для обратной замены.
Выполним обратную замену $x^2 = t$.
Если $x^2 = 1$, то $x_{1,2} = \pm 1$.
Если $x^2 = \frac{2}{3}$, то $x_{3,4} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $\pm 1; \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

3) Решим уравнение $(4x^2 - 1)^2 - 3(1 - 8x^2) + 6 = 0$.
Раскроем скобки и упростим выражение.
$(16x^4 - 8x^2 + 1) - 3 + 24x^2 + 6 = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$16x^4 + (-8x^2 + 24x^2) + (1 - 3 + 6) = 0$.
$16x^4 + 16x^2 + 4 = 0$.
Разделим обе части уравнения на 4:
$4x^4 + 4x^2 + 1 = 0$.
Левая часть уравнения является полным квадратом: $(2x^2)^2 + 2 \cdot (2x^2) \cdot 1 + 1^2 = (2x^2+1)^2$.
Уравнение принимает вид:
$(2x^2 + 1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $2x^2 + 1 = 0$.
$2x^2 = -1$.
$x^2 = -\frac{1}{2}$.
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

4) Решим уравнение $(x^2 + 1)^2 - 3(1 - x^2) - 4 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:
$(t + 1)^2 - 3(1 - t) - 4 = 0$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$t^2 + 2t + 1 - 3 + 3t - 4 = 0$.
$t^2 + 5t - 6 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение равно $-6$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.
Теперь выполним обратную замену $x^2 = t$.
$t_1 = 1$: $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.
$t_2 = -6$: $x^2 = -6$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 \ge 0$.
Таким образом, единственными решениями являются $x=1$ и $x=-1$.
Ответ: $\pm 1$.

2.10. Решите способом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x - y = 2, \\ 16x - 5 = 4y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 11x - 37 = 9y, \\ x - 2y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 85 = y, \\ 5x - 2y = 127. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x - y = 2, \\ 16x - 5 = 4y; \end{cases}$

Для решения способом подстановки выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$3x - y = 2 \implies y = 3x - 2$.

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$16x - 5 = 4(3x - 2)$.

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$16x - 5 = 12x - 8$

$16x - 12x = -8 + 5$

$4x = -3$

$x = -\frac{3}{4}$.

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x$ в выражение $y = 3x - 2$:

$y = 3 \cdot (-\frac{3}{4}) - 2 = -\frac{9}{4} - 2 = -\frac{9}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{17}{4}$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(-\frac{3}{4}; -\frac{17}{4})$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}; -\frac{17}{4})$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 11x - 37 = 9y, \\ x - 2y = 1; \end{cases}$

Выразим переменную $x$ из второго уравнения, так как у нее коэффициент 1:

$x - 2y = 1 \implies x = 1 + 2y$.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$11(1 + 2y) - 37 = 9y$.

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$11 + 22y - 37 = 9y$

$22y - 9y = 37 - 11$

$13y = 26$

$y = 2$.

Найдем значение $x$, подставив $y=2$ в выражение $x = 1 + 2y$:

$x = 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$.

Решением системы является пара чисел $(5; 2)$.

Ответ: $(5; 2)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - 85 = y, \\ 5x - 2y = 127. \end{cases}$

В первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$: $y = 2x - 85$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$5x - 2(2x - 85) = 127$.

Решим это уравнение для нахождения $x$:

$5x - 4x + 170 = 127$

$x + 170 = 127$

$x = 127 - 170$

$x = -43$.

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = -43$ в выражение $y = 2x - 85$:

$y = 2 \cdot (-43) - 85 = -86 - 85 = -171$.

Решением системы является пара чисел $(-43; -171)$.

Ответ: $(-43; -171)$.

2.11. 1) Два автомобиля выехали одновременно из города А в город В, длина пути по шоссе между которыми равна 540 км. Один автомобиль ехал со скоростью на 10 км/ч большей, чем другой и прибыл в город В на 45 мин раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

2) Велосипедист должен был проехать путь длиной 48 км, чтобы успеть к поезду, однако он задержался с выездом на 48 мин. Чтобы приехать на станцию вовремя, он ехал со скоростью на 3 км/ч большей, чем планировал первоначально. С какой скоростью ехал велосипедист?

3) Поезд задержан у семафора на 16 минут. Увеличив скорость на 10 км/ч, он сумел уложиться в график на перегоне длиной 80 км. Какова скорость поезда по расписанию?

1)

Пусть $S$ - расстояние между городами A и B, $S = 540$ км.

Пусть $x$ км/ч - скорость одного автомобиля. Тогда скорость другого автомобиля равна $(x + 10)$ км/ч.

Время, которое затратил первый (более медленный) автомобиль на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{540}{x}$ часов.

Время, которое затратил второй (более быстрый) автомобиль на весь путь, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{540}{x+10}$ часов.

По условию, второй автомобиль прибыл на 45 минут раньше. Переведем минуты в часы: 45 мин = $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа.

Разница во времени составляет $t_1 - t_2 = \frac{3}{4}$ часа. Составим уравнение:

$\frac{540}{x} - \frac{540}{x+10} = \frac{3}{4}$

Разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+10} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{180(x+10) - 180x}{x(x+10)} = \frac{1}{4}$

$\frac{180x + 1800 - 180x}{x^2 + 10x} = \frac{1}{4}$

$\frac{1800}{x^2 + 10x} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$x^2 + 10x = 1800 \cdot 4$

$x^2 + 10x = 7200$

$x^2 + 10x - 7200 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7200) = 100 + 28800 = 28900$

$\sqrt{D} = \sqrt{28900} = 170$

$x_1 = \frac{-10 + 170}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$x_2 = \frac{-10 - 170}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x = 80$ км/ч. Это скорость первого (медленного) автомобиля.

Скорость второго автомобиля равна $x + 10 = 80 + 10 = 90$ км/ч.

Ответ: скорость одного автомобиля 80 км/ч, скорость другого - 90 км/ч.

2)

Пусть $S$ - длина пути, $S = 48$ км.

Пусть $x$ км/ч - первоначально планируемая скорость велосипедиста.

Тогда фактическая скорость велосипедиста была $(x + 3)$ км/ч.

Планируемое время в пути: $t_{план} = \frac{48}{x}$ часов.

Фактическое время в пути: $t_{факт} = \frac{48}{x+3}$ часов.

Велосипедист задержался с выездом на 48 минут, что составляет $\frac{48}{60} = \frac{4}{5}$ часа. Чтобы приехать вовремя, он должен был сократить время в пути на эту величину.

Следовательно, разница между планируемым и фактическим временем составляет $\frac{4}{5}$ часа. Составим уравнение:

$t_{план} - t_{факт} = \frac{4}{5}$

$\frac{48}{x} - \frac{48}{x+3} = \frac{4}{5}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{12}{x} - \frac{12}{x+3} = \frac{1}{5}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{12(x+3) - 12x}{x(x+3)} = \frac{1}{5}$

$\frac{12x + 36 - 12x}{x^2 + 3x} = \frac{1}{5}$

$\frac{36}{x^2 + 3x} = \frac{1}{5}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$x^2 + 3x = 36 \cdot 5$

$x^2 + 3x = 180$

$x^2 + 3x - 180 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

$x_1 = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому планируемая скорость $x = 12$ км/ч.

Вопрос задачи: "С какой скоростью ехал велосипедист?", то есть нужно найти фактическую скорость.

Фактическая скорость: $x + 3 = 12 + 3 = 15$ км/ч.

Ответ: велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч.

3)

Пусть $S$ - длина перегона, $S = 80$ км.

Пусть $x$ км/ч - скорость поезда по расписанию.

После задержки скорость поезда стала $(x + 10)$ км/ч.

Время, которое поезд должен был потратить на перегон по расписанию: $t_{расп} = \frac{80}{x}$ часов.

Фактическое время, которое поезд потратил на перегон: $t_{факт} = \frac{80}{x+10}$ часов.

Поезд был задержан на 16 минут, что составляет $\frac{16}{60} = \frac{4}{15}$ часа. Чтобы уложиться в график, он должен был проехать перегон на 16 минут быстрее, чем по расписанию.

Следовательно, разница во времени составляет $\frac{4}{15}$ часа. Составим уравнение:

$t_{расп} - t_{факт} = \frac{4}{15}$

$\frac{80}{x} - \frac{80}{x+10} = \frac{4}{15}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{20}{x} - \frac{20}{x+10} = \frac{1}{15}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{20(x+10) - 20x}{x(x+10)} = \frac{1}{15}$

$\frac{20x + 200 - 20x}{x^2 + 10x} = \frac{1}{15}$

$\frac{200}{x^2 + 10x} = \frac{1}{15}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$x^2 + 10x = 200 \cdot 15$

$x^2 + 10x = 3000$

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

$x_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость поезда по расписанию $x = 50$ км/ч.

Ответ: скорость поезда по расписанию 50 км/ч.

21.5. Сравните значения выражений:

1) $\sin(0.6)$ и $\sin(4.8)$;

2) $\sin(1.6)$ и $\sin(5.4)$;

3) $\cos(1.96)$ и $\cos(5.8)$;

4) $\cos(1.2)$ и $\sin(3.8)$.

Для сравнения значений выражений определим, в каких координатных четвертях находятся углы, и каков знак соответствующей тригонометрической функции в этой четверти. Аргументы тригонометрических функций (углы) даны в радианах. Для определения четверти будем использовать приближенные значения констант: $\pi \approx 3,14$, $\pi/2 \approx 1,57$, $3\pi/2 \approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.

Знаки синуса по четвертям: I (+), II (+), III (-), IV (-).

Знаки косинуса по четвертям: I (+), II (-), III (-), IV (+).

1) sin0,6 и sin4,8

Сначала определим знак каждого выражения.

Для $\sin0,6$: угол 0,6 радиан удовлетворяет неравенству $0 < 0,6 < \pi/2 \approx 1,57$. Следовательно, угол находится в I четверти, где синус положителен. Значит, $\sin0,6 > 0$.

Для $\sin4,8$: угол 4,8 радиан удовлетворяет неравенству $3\pi/2 \approx 4,71 < 4,8 < 2\pi \approx 6,28$. Следовательно, угол находится в IV четверти, где синус отрицателен. Значит, $\sin4,8 < 0$.

Поскольку положительное число всегда больше отрицательного, получаем, что $\sin0,6 > \sin4,8$.

Ответ: $\sin0,6 > \sin4,8$.

2) sin1,6 и sin5,4

Определим знак каждого выражения.

Для $\sin1,6$: угол 1,6 радиан удовлетворяет неравенству $\pi/2 \approx 1,57 < 1,6 < \pi \approx 3,14$. Следовательно, угол находится во II четверти, где синус положителен. Значит, $\sin1,6 > 0$.

Для $\sin5,4$: угол 5,4 радиан удовлетворяет неравенству $3\pi/2 \approx 4,71 < 5,4 < 2\pi \approx 6,28$. Следовательно, угол находится в IV четверти, где синус отрицателен. Значит, $\sin5,4 < 0$.

Сравнивая положительное число с отрицательным, заключаем, что $\sin1,6 > \sin5,4$.

Ответ: $\sin1,6 > \sin5,4$.

3) cos1,96 и cos5,8

Определим знак каждого выражения.

Для $\cos1,96$: угол 1,96 радиан удовлетворяет неравенству $\pi/2 \approx 1,57 < 1,96 < \pi \approx 3,14$. Следовательно, угол находится во II четверти, где косинус отрицателен. Значит, $\cos1,96 < 0$.

Для $\cos5,8$: угол 5,8 радиан удовлетворяет неравенству $3\pi/2 \approx 4,71 < 5,8 < 2\pi \approx 6,28$. Следовательно, угол находится в IV четверти, где косинус положителен. Значит, $\cos5,8 > 0$.

Сравнивая отрицательное число с положительным, получаем, что $\cos1,96 < \cos5,8$.

Ответ: $\cos1,96 < \cos5,8$.

4) cos1,2 и sin3,8

Определим знак каждого выражения.

Для $\cos1,2$: угол 1,2 радиан удовлетворяет неравенству $0 < 1,2 < \pi/2 \approx 1,57$. Следовательно, угол находится в I четверти, где косинус положителен. Значит, $\cos1,2 > 0$.

Для $\sin3,8$: угол 3,8 радиан удовлетворяет неравенству $\pi \approx 3,14 < 3,8 < 3\pi/2 \approx 4,71$. Следовательно, угол находится в III четверти, где синус отрицателен. Значит, $\sin3,8 < 0$.

Сравнивая положительное число с отрицательным, приходим к выводу, что $\cos1,2 > \sin3,8$.

Ответ: $\cos1,2 > \sin3,8$.

21.6. Запишите в порядке возрастания значения выражений:

1) $\sin \frac{\pi}{3}; \sin \frac{5\pi}{6}; \sin \frac{4\pi}{3};$

2) $\cos \frac{\pi}{4}; \cos \frac{5\pi}{6}; \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right);$

3) $\text{tg} \frac{\pi}{3}; \text{tg} \frac{5\pi}{6}; \text{tg} \frac{5\pi}{4}.$

1) Чтобы расположить значения выражений в порядке возрастания, необходимо вычислить значение каждого из них.

Вычислим значение $\sin\frac{\pi}{3}$. Это табличное значение тригонометрических функций:
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычислим значение $\sin\frac{5\pi}{6}$. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ :
$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Вычислим значение $\sin\frac{4\pi}{3}$. Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ :
$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь сравним полученные значения: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отрицательное число $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ является наименьшим. Сравним положительные числа $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $1 < \sqrt{3}$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются так: $-\frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это соответствует следующему порядку выражений: $\sin\frac{4\pi}{3}; \sin\frac{5\pi}{6}; \sin\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\sin\frac{4\pi}{3}; \sin\frac{5\pi}{6}; \sin\frac{\pi}{3}$.

2) Вычислим значения данных выражений.

Значение $\cos\frac{\pi}{4}$ является табличным:
$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для вычисления $\cos\frac{5\pi}{6}$ применим формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ :
$\cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для вычисления $\cos(-\frac{\pi}{6})$ используем свойство четности функции косинус $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ :
$\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь сравним полученные значения: $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшим является отрицательное число $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Сравним положительные числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $2 < 3$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$, и, следовательно, $\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Порядок возрастания значений: $-\frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Соответствующий порядок выражений: $\cos\frac{5\pi}{6}; \cos\frac{\pi}{4}; \cos(-\frac{\pi}{6})$.
Ответ: $\cos\frac{5\pi}{6}; \cos\frac{\pi}{4}; \cos(-\frac{\pi}{6})$.

3) Вычислим значения данных выражений.

Значение $\tan\frac{\pi}{3}$ является табличным:
$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

Для вычисления $\tan\frac{5\pi}{6}$ применим формулу приведения $\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$ :
$\tan\frac{5\pi}{6} = \tan(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Для вычисления $\tan\frac{5\pi}{4}$ применим формулу приведения $\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$ :
$\tan\frac{5\pi}{4} = \tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan\frac{\pi}{4} = 1$

Сравним полученные значения: $\sqrt{3}$, $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $1$.
Наименьшим является отрицательное число $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Сравним положительные числа $1$ и $\sqrt{3}$. Так как $1 < 3$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3}$, что означает $1 < \sqrt{3}$.
Порядок возрастания значений следующий: $-\frac{\sqrt{3}}{3} < 1 < \sqrt{3}$.
Соответствующий порядок выражений: $\tan\frac{5\pi}{6}; \tan\frac{5\pi}{4}; \tan\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\tan\frac{5\pi}{6}; \tan\frac{5\pi}{4}; \tan\frac{\pi}{3}$.

21.7. Известно, что функция $f(x)$ задана на множестве $R$. При $x = 2$ имеем $f(2 + a) = f(2)$ и при $x = 5$ имеем $f(5 + a) = f(5)$.

Можно ли утверждать, что функция $f(x)$ периодическая и имеет период $T = a$?

Нет, этого утверждать нельзя.

По определению, функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T \neq 0$, если для любого $x$ из области определения функции (в данном случае, для любого $x \in R$) выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

В условии задачи дано, что равенство $f(x+a)=f(x)$ выполняется только для двух конкретных значений: $x=2$ и $x=5$. То есть, нам известно лишь, что:

$f(2+a) = f(2)$

$f(5+a) = f(5)$

Эта информация не является достаточной, чтобы сделать вывод о периодичности функции на всем множестве действительных чисел. Чтобы доказать, что такое утверждение в общем случае неверно, достаточно привести контрпример — то есть, построить функцию, которая удовлетворяет заданным условиям, но не является периодической с периодом $a$.

Рассмотрим следующую функцию, определённую на множестве $R$ (для определённости положим, что $a \neq 0$ и $a \neq 3$):

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in \{2, 2+a, 5, 5+a\} \\ 0, & \text{во всех остальных случаях} \end{cases}$

Проверим, выполняются ли для этой функции заданные в условии равенства:

1. При $x=2$: $f(2)=1$ и $f(2+a)=1$. Следовательно, равенство $f(2+a) = f(2)$ выполняется.

2. При $x=5$: $f(5)=1$ и $f(5+a)=1$. Следовательно, равенство $f(5+a) = f(5)$ выполняется.

Оба условия задачи удовлетворены. Теперь проверим, является ли эта функция периодической с периодом $T=a$. Для этого нужно выяснить, выполняется ли равенство $f(x+a)=f(x)$ для всех $x \in R$.

Возьмём в качестве $x$ точку $2+a$.

Значение функции в этой точке: $f(x) = f(2+a) = 1$.

Теперь найдём значение функции в точке $x+a = (2+a)+a = 2+2a$.

Поскольку мы предположили, что $a \neq 0$ и $a \neq 3$, точка $2+2a$ не принадлежит множеству $\{2, 2+a, 5, 5+a\}$. Тогда, согласно определению нашей функции, $f(2+2a) = 0$.

Таким образом, мы получили, что для точки $x = 2+a$ равенство $f(x+a) = f(x)$ не выполняется, так как $f(2+2a) = 0$, а $f(2+a) = 1$.

Поскольку мы нашли хотя бы одну точку, для которой условие периодичности не выполняется, мы можем заключить, что построенная нами функция не является периодической с периодом $a$.

Ответ: Нет, утверждать, что функция $f(x)$ периодическая и имеет период $T=a$, нельзя.

21.8. Найдите знак значения разности:

1) $ \sin 30^\circ - 2 \cos(-60^\circ) $;

2) $ 2 \operatorname{tg} 225^\circ - \cos 45^\circ $;

3) $ 3 \cos 270^\circ - \operatorname{ctg} 250^\circ $;

4) $ 4 \sin 60^\circ - \operatorname{ctg}(-60^\circ) $.

1) $\sin30^\circ - 2\cos(-60^\circ)$
Для нахождения знака разности вычислим ее точное значение. Используем известные значения тригонометрических функций: $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$. Функция косинус является четной, что означает $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Теперь подставим эти значения в исходное выражение: $\sin30^\circ - 2\cos(-60^\circ) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$. Полученное значение является отрицательным.
Ответ: знак минус (-).

2) $2\tg225^\circ - \cos45^\circ$
Найдем значения тригонометрических функций, входящих в выражение. Угол $225^\circ$ находится в третьей четверти. Мы можем использовать формулу приведения: $\tg(225^\circ) = \tg(180^\circ + 45^\circ) = \tg(45^\circ) = 1$. Значение косинуса для угла $45^\circ$ является табличным: $\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим найденные значения в выражение: $2\tg225^\circ - \cos45^\circ = 2 \cdot 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. Чтобы определить знак, сравним числа $2$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$. Поскольку $2 > 0,707$, разность $2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ будет положительной.
Ответ: знак плюс (+).

3) $3\cos270^\circ - \ctg250^\circ$
Определим значения и знаки каждого члена выражения. Значение косинуса для угла $270^\circ$ равно нулю: $\cos270^\circ = 0$. Угол $250^\circ$ находится в третьей координатной четверти ($180^\circ < 250^\circ < 270^\circ$). В этой четверти и синус, и косинус отрицательны. Котангенс, как отношение косинуса к синусу, будет положительным: $\ctg250^\circ > 0$. Подставим значения в выражение: $3\cos270^\circ - \ctg250^\circ = 3 \cdot 0 - \ctg250^\circ = -\ctg250^\circ$. Поскольку $\ctg250^\circ$ — положительное число, то выражение $-\ctg250^\circ$ будет отрицательным.
Ответ: знак минус (-).

4) $4\sin60^\circ - \ctg(-60^\circ)$
Найдем значения тригонометрических функций. Табличное значение синуса для $60^\circ$: $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Функция котангенс является нечетной, то есть $\ctg(-x) = -\ctg(x)$. Поэтому $\ctg(-60^\circ) = -\ctg(60^\circ)$. Табличное значение котангенса для $60^\circ$: $\ctg60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, $\ctg(-60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Подставим значения в выражение: $4\sin60^\circ - \ctg(-60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}$. Так как $\sqrt{3} > 0$, оба слагаемых ($2\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$) являются положительными числами. Сумма двух положительных чисел всегда положительна.
Ответ: знак плюс (+).

21.9. Найдите знак значения числового выражения:

1) $sin45^\circ \cdot cos120^\circ \cdot tg135^\circ;$

2) $sin60^\circ \cdot cos180^\circ \cdot ctg135^\circ;$

3) $sin215^\circ \cdot cos150^\circ \cdot tg225^\circ;$

4) $tg145^\circ \cdot cos220^\circ \cdot tg335^\circ.$

Чтобы определить знак числового выражения, необходимо определить знак каждого множителя, а затем, используя правила умножения, найти знак всего произведения. Знаки тригонометрических функций зависят от четверти, в которой находится угол.

1) $ \sin45^\circ \cdot \cos120^\circ \cdot \tg135^\circ $
1. Угол $45^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 45^\circ < 90^\circ$), поэтому $ \sin45^\circ > 0 $ (знак плюс).
2. Угол $120^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$), поэтому $ \cos120^\circ < 0 $ (знак минус).
3. Угол $135^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$), поэтому $ \tg135^\circ < 0 $ (знак минус).
4. Определяем знак произведения: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$.
Таким образом, значение выражения положительно.
Ответ: знак плюс (+).

2) $ \sin60^\circ \cdot \cos180^\circ \cdot \ctg135^\circ $
1. Угол $60^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 60^\circ < 90^\circ$), поэтому $ \sin60^\circ > 0 $ (знак плюс).
2. Угол $180^\circ$ — граничный, $ \cos180^\circ = -1 $, то есть $ \cos180^\circ < 0 $ (знак минус).
3. Угол $135^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$), поэтому $ \ctg135^\circ < 0 $ (знак минус).
4. Определяем знак произведения: $(+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$.
Таким образом, значение выражения положительно.
Ответ: знак плюс (+).

3) $ \sin215^\circ \cdot \cos150^\circ \cdot \tg225^\circ $
1. Угол $215^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 215^\circ < 270^\circ$), поэтому $ \sin215^\circ < 0 $ (знак минус).
2. Угол $150^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$), поэтому $ \cos150^\circ < 0 $ (знак минус).
3. Угол $225^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 225^\circ < 270^\circ$), поэтому $ \tg225^\circ > 0 $ (знак плюс).
4. Определяем знак произведения: $(-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$.
Таким образом, значение выражения положительно.
Ответ: знак плюс (+).

4) $ \tg145^\circ \cdot \cos220^\circ \cdot \tg335^\circ $
1. Угол $145^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 145^\circ < 180^\circ$), поэтому $ \tg145^\circ < 0 $ (знак минус).
2. Угол $220^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 220^\circ < 270^\circ$), поэтому $ \cos220^\circ < 0 $ (знак минус).
3. Угол $335^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 335^\circ < 360^\circ$), поэтому $ \tg335^\circ < 0 $ (знак минус).
4. Определяем знак произведения: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.
Таким образом, значение выражения отрицательно.
Ответ: знак минус (-).

21.10. Докажите неравенство:

1) $\cos^2 a < \cos a$, если $270^\circ < a < 360^\circ$;

2) $\cos^2 a > \cos a$, если $180^\circ < a < 270^\circ$;

3) $\sin^2 a < \sin a$, если $90^\circ < a < 180^\circ$;

4) $\sin^2 a > \sin a$, если $270^\circ < a < 360^\circ$.

1) Требуется доказать неравенство $cos^2 α < cos α$ при условии $270° < α < 360°$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$cos^2 α - cos α < 0$
Вынесем $cos α$ за скобки:
$cos α (cos α - 1) < 0$
Рассмотрим знаки множителей. Угол $α$ находится в IV координатной четверти ($270° < α < 360°$). В этой четверти косинус принимает положительные значения, но меньше единицы, то есть $0 < cos α < 1$.
Следовательно:
Первый множитель $cos α$ положителен ($cos α > 0$).
Второй множитель $(cos α - 1)$ отрицателен, так как из $cos α < 1$ следует $cos α - 1 < 0$.
Произведение положительного и отрицательного числа является отрицательным числом. Таким образом, неравенство $cos α (cos α - 1) < 0$ выполняется, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Требуется доказать неравенство $cos^2 α > cos α$ при условии $180° < α < 270°$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$cos^2 α - cos α > 0$
Вынесем $cos α$ за скобки:
$cos α (cos α - 1) > 0$
Рассмотрим знаки множителей. Угол $α$ находится в III координатной четверти ($180° < α < 270°$). В этой четверти косинус принимает отрицательные значения, то есть $-1 < cos α < 0$.
Следовательно:
Первый множитель $cos α$ отрицателен ($cos α < 0$).
Второй множитель $(cos α - 1)$ также отрицателен, так как из $cos α < 0$ следует $cos α - 1 < -1 < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Таким образом, неравенство $cos α (cos α - 1) > 0$ выполняется, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Требуется доказать неравенство $sin^2 α < sin α$ при условии $90° < α < 180°$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$sin^2 α - sin α < 0$
Вынесем $sin α$ за скобки:
$sin α (sin α - 1) < 0$
Рассмотрим знаки множителей. Угол $α$ находится во II координатной четверти ($90° < α < 180°$). В этой четверти синус принимает положительные значения, но меньше единицы, то есть $0 < sin α < 1$.
Следовательно:
Первый множитель $sin α$ положителен ($sin α > 0$).
Второй множитель $(sin α - 1)$ отрицателен, так как из $sin α < 1$ следует $sin α - 1 < 0$.
Произведение положительного и отрицательного числа является отрицательным числом. Таким образом, неравенство $sin α (sin α - 1) < 0$ выполняется, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Требуется доказать неравенство $sin^2 α > sin α$ при условии $270° < α < 360°$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$sin^2 α - sin α > 0$
Вынесем $sin α$ за скобки:
$sin α (sin α - 1) > 0$
Рассмотрим знаки множителей. Угол $α$ находится в IV координатной четверти ($270° < α < 360°$). В этой четверти синус принимает отрицательные значения, то есть $-1 < sin α < 0$.
Следовательно:
Первый множитель $sin α$ отрицателен ($sin α < 0$).
Второй множитель $(sin α - 1)$ также отрицателен, так как из $sin α < 0$ следует $sin α - 1 < -1 < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Таким образом, неравенство $sin α (sin α - 1) > 0$ выполняется, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

21.11. В какой координатной четверти может находиться угол, если:

1) $ \vert \sin a \vert = \sin a; $

2) $ \vert \sin a \vert > \sin a; $

3) $ \vert \cos a \vert = \cos a; $

4) $ \vert \cos a \vert > \cos a; $

5) $ \vert tga \vert = tga; $

6) $ \vert tga \vert > tga; $

7) $ \vert ctga \vert = ctga; $

8) $ \vert ctga \vert > ctga? $

1) Равенство вида $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. Следовательно, условие $|\sin a| = \sin a$ означает, что $\sin a \ge 0$. Синус является неотрицательной функцией в первой и второй координатных четвертях.
Ответ: в I или II четверти.

2) Неравенство вида $|x| > x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x < 0$. Следовательно, условие $|\sin a| > \sin a$ означает, что $\sin a < 0$. Синус является отрицательной функцией в третьей и четвертой координатных четвертях.
Ответ: в III или IV четверти.

3) Равенство вида $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. Следовательно, условие $|\cos a| = \cos a$ означает, что $\cos a \ge 0$. Косинус является неотрицательной функцией в первой и четвертой координатных четвертях.
Ответ: в I или IV четверти.

4) Неравенство вида $|x| > x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x < 0$. Следовательно, условие $|\cos a| > \cos a$ означает, что $\cos a < 0$. Косинус является отрицательной функцией во второй и третьей координатных четвертях.
Ответ: во II или III четверти.

5) Равенство вида $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. Следовательно, условие $|\tan a| = \tan a$ означает, что $\tan a \ge 0$. Тангенс является неотрицательной функцией в первой и третьей координатных четвертях.
Ответ: в I или III четверти.

6) Неравенство вида $|x| > x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x < 0$. Следовательно, условие $|\tan a| > \tan a$ означает, что $\tan a < 0$. Тангенс является отрицательной функцией во второй и четвертой координатных четвертях.
Ответ: во II или IV четверти.

7) Равенство вида $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. Следовательно, условие $|\cot a| = \cot a$ означает, что $\cot a \ge 0$. Котангенс является неотрицательной функцией в первой и третьей координатных четвертях.
Ответ: в I или III четверти.

8) Неравенство вида $|x| > x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x < 0$. Следовательно, условие $|\cot a| > \cot a$ означает, что $\cot a < 0$. Котангенс является отрицательной функцией во второй и четвертой координатных четвертях.
Ответ: во II или IV четверти.

21.12. По графику функции $y = f(x)$ выясните, является ли функция периодической. Если функция $y = f(x)$ периодическая, то найдите ее период (рис. 72).

1)

2)

3)

Рис. 72

1)

Чтобы определить, является ли функция периодической, нужно посмотреть, повторяется ли ее график через какой-либо определенный интервал по оси $x$. На данном графике видно, что форма функции повторяется. Например, участок графика на интервале $x \in [-1, 0)$ в точности такой же, как и на интервале $x \in [0, 1)$, на интервале $x \in [1, 2)$ и так далее. То же самое верно и для отрицательных значений $x$. Длина такого повторяющегося интервала равна $1 - 0 = 1$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+1) = f(x)$. Следовательно, функция является периодической, а ее наименьший положительный период $T$ равен 1.
Ответ: функция является периодической, ее период $T = 1$.

2)

Анализируя данный график, мы видим отчетливый повторяющийся узор. Узор состоит из одного "горба" над осью $x$ и одного острого "всплеска" вниз под осью $x$. Рассмотрим интервал $x \in [0, 1]$. На этом интервале график сначала образует дугу над осью $x$ (на $x \in [0, 0.5]$), а затем V-образную фигуру под осью $x$ (на $x \in [0.5, 1]$). Этот полный цикл имеет длину $1 - 0 = 1$. Та же самая последовательность форм повторяется на каждом последующем интервале длины 1, например на $x \in [1, 2]$, $x \in [2, 3]$, а также на $x \in [-1, 0]$, $x \in [-2, -1]$ и т.д. Таким образом, для любого $x$ выполняется условие $f(x+1) = f(x)$. Это означает, что функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 1$.
Ответ: функция является периодической, ее период $T = 1$.

3)

Данный график представляет собой ступенчатую функцию. Значение функции постоянно на каждом интервале вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число. Однако, при переходе от одного интервала к следующему (при увеличении $x$), значение функции увеличивается. Например, на интервале $x \in [0, 1)$ функция принимает одно значение, а на интервале $x \in [1, 2)$ — другое, большее значение. Поскольку значения функции не повторяются, а постоянно возрастают, на графике нет повторяющегося узора. Если сдвинуть график вдоль оси $x$ на любое число $T > 0$, он не совпадет с исходным. Условие периодичности $f(x+T) = f(x)$ не выполняется ни для какого $T > 0$. Следовательно, данная функция не является периодической.
Ответ: функция не является периодической.