Страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1.8. При каких значениях $a$ и $b$ вершина параболы $y = ax^2 - bx$ находится в точке $M(-1; 3)$?

Уравнение параболы задано в виде $y = ax^2 - bx$. Для нахождения значений коэффициентов $a$ и $b$ воспользуемся свойствами вершины параболы.

Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, определяются по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае, сравнивая $y = ax^2 - bx$ с общей формой, получаем $A=a$ и $B=-b$.

Из условия известно, что вершина параболы находится в точке $M(-1; 3)$, следовательно, $x_0 = -1$ и $y_0 = 3$. Подставим эти значения в формулу для абсциссы вершины: $x_0 = -\frac{-b}{2a} = \frac{b}{2a}$ $-1 = \frac{b}{2a}$ Из этого соотношения мы можем выразить $b$ через $a$: $b = -2a$.

Так как точка $M(-1; 3)$ принадлежит параболе, ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим $x = -1$ и $y = 3$ в исходное уравнение $y = ax^2 - bx$: $3 = a(-1)^2 - b(-1)$ $3 = a(1) + b$ $3 = a + b$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$: $\begin{cases} b = -2a \\ a + b = 3 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе: $a + (-2a) = 3$ $-a = 3$ $a = -3$.

Зная значение $a$, найдем $b$ из первого уравнения: $b = -2a = -2(-3) = 6$.

Таким образом, искомые значения коэффициентов равны $a = -3$ и $b = 6$.

Ответ: $a = -3$, $b = 6$.

1.9. Постройте график уравнения:

1) $y = x^2 - 2|x| + 2;$ 2) $y = x^2 - |x - 1| - 2;$ 3) $|x| \cdot y = 2;$

4) $|x| \cdot y = -1;$ 5) $|y| = |x|;$ 6) $|y| + |x| = 2;$

7) $|y| + 2|x| = 3;$ 8) $y \cdot x^2 = 2;$ 9) $y = ||x - 2| - 2|.$

1) $y = x^2 - 2|x| + 2$

Данная функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^2 - 2|-x| + 2 = x^2 - 2|x| + 2 = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.

Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид:

$y = x^2 - 2x + 2$

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину:

$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

$y_в = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

Найдем несколько точек для $x \ge 0$:

• При $x=0, y = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• При $x=1, y = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=2, y = 2^2 - 2(2) + 2 = 2$. Точка $(2, 2)$.
• При $x=3, y = 3^2 - 2(3) + 2 = 5$. Точка $(3, 5)$.

Строим эту часть графика для $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x < 0$. График будет состоять из двух частей парабол, соединенных в точке $(0, 2)$.

Ответ: График представляет собой объединение двух частей парабол. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y = x^2 - 2x + 2$ с вершиной в $(1, 1)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = x^2 + 2x + 2$ с вершиной в $(-1, 1)$. Обе части соединяются в точке $(0, 2)$.

2) $y = x^2 - |x - 1| - 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

В этом случае $|x - 1| = x - 1$. Уравнение принимает вид:

$y = x^2 - (x - 1) - 2 = x^2 - x - 1$

Это парабола, ветви вверх. Вершина: $x_в = -\frac{-1}{2} = 0.5$. Это значение не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 1$, поэтому на этом промежутке функция возрастает. Точка "стыка" при $x=1$: $y = 1^2 - 1 - 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.

Случай 2: $x - 1 < 0 \implies x < 1$

В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. Уравнение принимает вид:

$y = x^2 - (1 - x) - 2 = x^2 + x - 3$

Это парабола, ветви вверх. Вершина: $x_в = -\frac{1}{2} = -0.5$. Это значение входит в промежуток $x < 1$. $y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) - 3 = 0.25 - 0.5 - 3 = -3.25$. Вершина в точке $(-0.5, -3.25)$.

При $x \to 1$, $y \to 1+1-3 = -1$. Графики стыкуются в точке $(1, -1)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(1, -1)$. Для $x < 1$ это часть параболы $y = x^2 + x - 3$ с вершиной в $(-0.5, -3.25)$. Для $x \ge 1$ это часть параболы $y = x^2 - x - 1$.

3) $|x| \cdot y = 2$

Из уравнения следует, что $x \neq 0$. Выразим $y$: $y = \frac{2}{|x|}$.

График симметричен относительно оси OY, так как замена $x$ на $-x$ не меняет уравнение.

Случай 1: $x > 0$

$y = \frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.

Случай 2: $x < 0$

$y = \frac{2}{-x} = -\frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти.

Ответ: График состоит из двух ветвей. Для $x>0$ это график функции $y = 2/x$ (ветвь гиперболы в I четверти). Для $x<0$ это график функции $y = -2/x$ (ветвь гиперболы во II четверти). Ось Y является вертикальной асимптотой.

4) $|x| \cdot y = -1$

Из уравнения следует, что $x \neq 0$. Выразим $y$: $y = -\frac{1}{|x|}$.

Так как $|x| > 0$ для всех $x \neq 0$, то $y$ всегда будет отрицательным. График полностью расположен ниже оси OX. График симметричен относительно оси OY.

Случай 1: $x > 0$

$y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в четвертой координатной четверти.

Случай 2: $x < 0$

$y = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти.

Ответ: График состоит из двух ветвей. Для $x>0$ это график функции $y = -1/x$ (ветвь гиперболы в IV четверти). Для $x<0$ это график функции $y = 1/x$ (ветвь гиперболы в III четверти). Ось Y является вертикальной асимптотой.

5) $|y| = |x|$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y = |x|$ или $-y = |x|$

То есть, $y = |x|$ и $y = -|x|$.

1. График $y = |x|$ состоит из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Это "галочка", выходящая из начала координат и лежащая в I и II четвертях.

2. График $y = -|x|$ состоит из двух лучей: $y=-x$ при $x \ge 0$ и $y=x$ при $x < 0$. Это перевернутая "галочка", выходящая из начала координат и лежащая в III и IV четвертях.

Объединение этих двух графиков дает две пересекающиеся в начале координат прямые: $y=x$ и $y=-x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = x$ и $y = -x$.

6) $|y| + |x| = 2$

График этого уравнения симметричен относительно обеих координатных осей и начала координат. Построим его в первой четверти, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

При $x \ge 0, y \ge 0$ уравнение принимает вид $y + x = 2$, или $y = -x + 2$.

Это отрезок прямой, который соединяет точку на оси OY $(0, 2)$ и точку на оси OX $(2, 0)$.

Отражая этот отрезок симметрично относительно оси OY, получаем отрезок, соединяющий $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Отражая исходный отрезок симметрично относительно оси OX, получаем отрезок, соединяющий $(2, 0)$ и $(0, -2)$.

Отражая второй отрезок симметрично относительно оси OX, получаем отрезок, соединяющий $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.

В результате получаем квадрат с вершинами в точках $(2, 0), (0, 2), (-2, 0), (0, -2)$.

Ответ: График представляет собой квадрат с вершинами в точках $(2, 0)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$, $(0, -2)$.

7) $|y| + 2|x| = 3$

Аналогично предыдущему пункту, график симметричен относительно обеих осей. Рассмотрим первую четверть ($x \ge 0, y \ge 0$).

Уравнение становится $y + 2x = 3$, или $y = -2x + 3$.

Это отрезок прямой. Найдем его концы:

При $x=0, y=3$. Точка $(0, 3)$.

При $y=0, 2x=3 \implies x=1.5$. Точка $(1.5, 0)$.

В первой четверти график - это отрезок, соединяющий $(0, 3)$ и $(1.5, 0)$.

Отражая этот отрезок в другие четверти, получаем ромб с вершинами в точках $(1.5, 0), (0, 3), (-1.5, 0), (0, -3)$.

Ответ: График представляет собой ромб с вершинами в точках $(1.5, 0)$, $(0, 3)$, $(-1.5, 0)$ и $(0, -3)$.

8) $y \cdot x^2 = 2$

Из уравнения следует, что $x \neq 0$. Выразим $y$: $y = \frac{2}{x^2}$.

Функция является четной ($y(-x) = 2/(-x)^2 = 2/x^2 = y(x)$), поэтому график симметричен относительно оси OY. Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, то $y$ всегда положителен. График лежит выше оси OX.

Ось OY ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$.

Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

Несколько точек: $(\pm 1, 2)$, $(\pm 2, 0.5)$, $(\pm 0.5, 8)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси OY. Ось OY - вертикальная асимптота, ось OX - горизонтальная асимптота.

9) $y = ||x - 2| - 2|$

Построим график поэтапно:

1. $y_1 = x - 2$: прямая.

2. $y_2 = |x - 2|$: график $y_1$, у которого часть ниже оси OX отражена наверх. Получаем "галочку" с вершиной в $(2, 0)$.

3. $y_3 = |x - 2| - 2$: сдвигаем график $y_2$ на 2 единицы вниз. Вершина перемещается в точку $(2, -2)$. Нули функции: $|x-2|=2 \implies x-2=\pm 2 \implies x=4$ и $x=0$.

4. $y = ||x - 2| - 2| = |y_3|$: берем график $y_3$ и часть, которая лежит ниже оси OX (между $x=0$ и $x=4$), отражаем симметрично вверх. Вершина $(2, -2)$ переходит в $(2, 2)$.

Итоговый график состоит из ломаной линии с вершинами в точках $(0, 0), (2, 2), (4, 0)$.

Можно также раскрыть модули. Функция кусочно-линейная:

• При $x \le 0$: $y = -( -(x-2) - 2) = -(-x+2-2) = x$. Ошибка, $y = -x$. Проверим: $x=-1 \implies y=||-3|-2| = |3-2|=1$. $y=-(-1)=1$. Верно. $y=-x$.
• При $0 < x < 2$: $y = -( -(x-2) - 2) = x$. Проверим: $x=1 \implies y=||-1|-2|=|1-2|=1$. $y=1$. Верно.
• При $2 \le x < 4$: $y = -( (x-2) - 2) = -(x-4) = 4-x$. Проверим: $x=3 \implies y=||1|-2|=|-1|=1$. $y=4-3=1$. Верно.
• При $x \ge 4$: $y = (x-2)-2 = x-4$. Проверим: $x=5 \implies y=||3|-2|=|1|=1$. $y=5-4=1$. Верно.

Ответ: График представляет собой ломаную линию ("W"-образной формы), проходящую через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(2, 2)$, $(4, 0)$, $(6, 2)$.

1.10. Решите систему уравнений:

1)

$$ \begin{cases} 2x - y = 3, \\ 3x + y = -4; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} -3x + 5y = 4, \\ 2x + y = 7; \end{cases} $$

3)

$$ \begin{cases} x - 7y = 23, \\ 3x - y = 14; \end{cases} $$

4)

$$ \begin{cases} -5x - y = 26, \\ 3x - 2y = -15; \end{cases} $$

5)

$$ \begin{cases} -5x - 3y = 36, \\ 4x + y = -29; \end{cases} $$

6)

$$ \begin{cases} 7x + 8y = 31, \\ 3x - 4y = -24. \end{cases} $$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}2x - y = 3, \\3x + y = -4\end{cases}$
Решим данную систему методом сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(2x - y) + (3x + y) = 3 + (-4)$
$5x = -1$
$x = -\frac{1}{5}$
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, в первое:
$2(-\frac{1}{5}) - y = 3$
$-\frac{2}{5} - y = 3$
$-y = 3 + \frac{2}{5}$
$-y = \frac{15}{5} + \frac{2}{5}$
$-y = \frac{17}{5}$
$y = -\frac{17}{5}$
Таким образом, решение системы: $x = -\frac{1}{5}$, $y = -\frac{17}{5}$.
Ответ: $(-\frac{1}{5}; -\frac{17}{5})$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}-3x + 5y = 4, \\2x + y = 7\end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$:
$y = 7 - 2x$
Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$-3x + 5(7 - 2x) = 4$
$-3x + 35 - 10x = 4$
$-13x = 4 - 35$
$-13x = -31$
$x = \frac{31}{13}$
Теперь найдем значение $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 7 - 2(\frac{31}{13}) = \frac{7 \cdot 13}{13} - \frac{62}{13} = \frac{91 - 62}{13} = \frac{29}{13}$
Решение системы: $x = \frac{31}{13}$, $y = \frac{29}{13}$.
Ответ: $(\frac{31}{13}; \frac{29}{13})$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases}x - 7y = 23, \\3x - y = 14\end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$:
$x = 23 + 7y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3(23 + 7y) - y = 14$
$69 + 21y - y = 14$
$20y = 14 - 69$
$20y = -55$
$y = -\frac{55}{20} = -\frac{11}{4}$
Теперь найдем значение $x$:
$x = 23 + 7(-\frac{11}{4}) = 23 - \frac{77}{4} = \frac{23 \cdot 4}{4} - \frac{77}{4} = \frac{92 - 77}{4} = \frac{15}{4}$
Решение системы: $x = \frac{15}{4}$, $y = -\frac{11}{4}$.
Ответ: $(\frac{15}{4}; -\frac{11}{4})$.

4) Дана система уравнений:$\begin{cases}-5x - y = 26, \\3x - 2y = -15\end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$-y = 26 + 5x$
$y = -26 - 5x$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$3x - 2(-26 - 5x) = -15$
$3x + 52 + 10x = -15$
$13x = -15 - 52$
$13x = -67$
$x = -\frac{67}{13}$
Теперь найдем значение $y$:
$y = -26 - 5(-\frac{67}{13}) = -26 + \frac{335}{13} = -\frac{26 \cdot 13}{13} + \frac{335}{13} = \frac{-338 + 335}{13} = -\frac{3}{13}$
Решение системы: $x = -\frac{67}{13}$, $y = -\frac{3}{13}$.
Ответ: $(-\frac{67}{13}; -\frac{3}{13})$.

5) Дана система уравнений:$\begin{cases}-5x - 3y = 36, \\4x + y = -29\end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = -29 - 4x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$-5x - 3(-29 - 4x) = 36$
$-5x + 87 + 12x = 36$
$7x = 36 - 87$
$7x = -51$
$x = -\frac{51}{7}$
Теперь найдем значение $y$:
$y = -29 - 4(-\frac{51}{7}) = -29 + \frac{204}{7} = -\frac{29 \cdot 7}{7} + \frac{204}{7} = \frac{-203 + 204}{7} = \frac{1}{7}$
Решение системы: $x = -\frac{51}{7}$, $y = \frac{1}{7}$.
Ответ: $(-\frac{51}{7}; \frac{1}{7})$.

6) Дана система уравнений:$\begin{cases}7x + 8y = 31, \\3x - 4y = -24\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами:
$\begin{cases}7x + 8y = 31, \\2(3x - 4y) = 2(-24)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}7x + 8y = 31, \\6x - 8y = -48\end{cases}$
Сложим уравнения полученной системы:
$(7x + 8y) + (6x - 8y) = 31 + (-48)$
$13x = -17$
$x = -\frac{17}{13}$
Подставим значение $x$ во второе исходное уравнение:
$3(-\frac{17}{13}) - 4y = -24$
$-\frac{51}{13} - 4y = -24$
$-4y = -24 + \frac{51}{13}$
$-4y = -\frac{24 \cdot 13}{13} + \frac{51}{13}$
$-4y = \frac{-312 + 51}{13}$
$-4y = -\frac{261}{13}$
$y = \frac{-261}{13 \cdot (-4)} = \frac{261}{52}$
Решение системы: $x = -\frac{17}{13}$, $y = \frac{261}{52}$.
Ответ: $(-\frac{17}{13}; \frac{261}{52})$.

1.11. Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок: либо скидку $20\%$ на звонки абонентам других компаний по Республике Казахстан, либо $25\%$ на звонки зарубежных операторов, либо $15\%$ на услуги мобильного интернета. Клиент рассмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 3000 тг на звонки по Республике Казахстан, 2500 тг на звонки зарубежных операторов и 2000 тг на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же.

1) Какую из скидок выгоднее выбрать клиенту?

2) Сколько тенге составит эта скидка?

3) Если за месяц на звонки по Республике Казахстан будет потрачено 3500 тг, выгоднее ли взять скидку $20\%$ на звонки абонентов компаний по Республике Казахстан и на сколько?

1) Какую из скидок выгоднее выбрать клиенту?

Чтобы определить наиболее выгодную скидку, необходимо рассчитать экономию в тенге для каждого из трех предложенных вариантов, исходя из ежемесячных затрат клиента.

1. Расчет скидки в 20% на звонки по Республике Казахстан:
Затраты на эту услугу составляют 3000 тг. Сумма скидки будет равна $3000 \times 0.20 = 600$ тг.

2. Расчет скидки в 25% на звонки зарубежных операторов:
Затраты на эту услугу составляют 2500 тг. Сумма скидки будет равна $2500 \times 0.25 = 625$ тг.

3. Расчет скидки в 15% на услуги мобильного интернета:
Затраты на эту услугу составляют 2000 тг. Сумма скидки будет равна $2000 \times 0.15 = 300$ тг.

Сравним полученные суммы экономии: $625 \text{ тг} > 600 \text{ тг} > 300 \text{ тг}$. Наибольшую выгоду приносит скидка на звонки зарубежных операторов.

Ответ: Клиенту выгоднее выбрать скидку 25% на звонки зарубежных операторов.

2) Сколько тенге составит эта скидка?

Как было рассчитано в предыдущем пункте, самая выгодная скидка — это 25% на звонки зарубежных операторов, и её размер составляет 625 тг.

Ответ: Эта скидка составит 625 тенге.

3) Если за месяц на звонки по Республике Казахстан будет потрачено 3500 тг, выгоднее ли взять скидку 20% на звонки абонентов компаний по Республике Казахстан и на сколько?

Рассмотрим новый сценарий, в котором затраты на звонки по Республике Казахстан увеличились до 3500 тг. Затраты на остальные услуги остались прежними. Пересчитаем размер скидок:

1. Новая скидка на звонки по Республике Казахстан (20%):
$3500 \times 0.20 = 700$ тг.

2. Скидка на звонки зарубежных операторов (25%) остается прежней: $625$ тг.

3. Скидка на мобильный интернет (15%) остается прежней: $300$ тг.

Теперь сравним размеры всех скидок в новых условиях: $700 \text{ тг} > 625 \text{ тг} > 300 \text{ тг}$.

В этой ситуации самой выгодной становится скидка 20% на звонки по Республике Казахстан. Чтобы определить, на сколько она выгоднее, сравним ее с ближайшей по величине скидкой (625 тг):
Разница составляет $700 \text{ тг} - 625 \text{ тг} = 75 \text{ тг}$.

Ответ: Да, в этом случае выгоднее взять скидку 20% на звонки по Республике Казахстан. Она будет выгоднее на 75 тг по сравнению со следующим по выгодности вариантом.

1.12. Решите методом интервалов неравенство:

1) $(x - 2)^2 \cdot (x + 1) \cdot (2x - 5) > 0$;

2) $(3x - 5)^2 \cdot (x - 1)^3 \cdot (2x + 5) < 0$;

3) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 16} \geq 0$;

4) $\frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 9} \leq 0$.

1) $(x - 2)^2 \cdot (x + 1) \cdot (2x - 5) > 0$

Для решения неравенства методом интервалов найдем нули функции $f(x) = (x - 2)^2 \cdot (x + 1) \cdot (2x - 5)$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$(x - 2)^2 = 0 \implies x_1 = 2$ (корень кратности 2, четной кратности)

$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$ (корень кратности 1, нечетной кратности)

$2x - 5 = 0 \implies x_3 = 2.5$ (корень кратности 1, нечетной кратности)

Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.

Определим знаки на каждом интервале. В крайнем правом интервале (при $x > 2.5$) все множители положительны, значит, знак «+». Далее, двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности ($x=2.5$ и $x=-1$) и не меняем знак при переходе через корень четной кратности ($x=2$).

Выбираем интервалы, где функция положительна, так как знак неравенства $>$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2.5; +\infty)$

2) $(3x - 5)^2 \cdot (x - 1)^3 \cdot (2x + 5) < 0$

Найдем нули функции $f(x) = (3x - 5)^2 \cdot (x - 1)^3 \cdot (2x + 5)$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$(3x - 5)^2 = 0 \implies x_1 = 5/3$ (корень кратности 2, четной кратности)

$(x - 1)^3 = 0 \implies x_2 = 1$ (корень кратности 3, нечетной кратности)

$2x + 5 = 0 \implies x_3 = -2.5$ (корень кратности 1, нечетной кратности)

Расположим точки на числовой оси: $-2.5$, $1$, $5/3$. Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки выколотые.

Определим знаки на интервалах. При $x > 5/3$ все множители положительны, знак «+». При переходе через $x=5/3$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на «-». При переходе через $x=-2.5$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».

Нам нужны интервалы, где функция отрицательна ($< 0$).

Ответ: $x \in (-2.5; 1)$

3) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 16} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Нули числителя: $x=2$, $x=3$.

Знаменатель: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$. Нули знаменателя: $x=4$, $x=-4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 4)(x + 4)} \ge 0$.

Отметим точки на числовой оси. Нули числителя ($2$ и $3$) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Нули знаменателя ($-4$ и $4$) будут выколотыми, так как на ноль делить нельзя.

Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются. В крайнем правом интервале ($x > 4$) знак «+». Выбираем интервалы со знаком «+» и включаем закрашенные точки.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup [2; 3] \cup (4; +\infty)$

4) $\frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 9} \le 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $2x^2 - 7x + 6 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$. Корни $x_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{4}$, то есть $x_1 = 1.5$ и $x_2 = 2$. Тогда $2x^2 - 7x + 6 = 2(x - 1.5)(x - 2)$. Нули числителя: $x=1.5$, $x=2$.

Знаменатель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Нули знаменателя: $x=3$, $x=-3$.

Неравенство принимает вид: $\frac{2(x - 1.5)(x - 2)}{(x - 3)(x + 3)} \le 0$.

Отметим точки на числовой оси. Нули числителя ($1.5$ и $2$) будут закрашенными ($\le$). Нули знаменателя ($-3$ и $3$) будут выколотыми.

Все корни имеют кратность 1, знаки чередуются. В крайнем правом интервале знак «+». Выбираем интервалы со знаком «-» и включаем закрашенные точки.

Ответ: $x \in (-3; 1.5] \cup [2; 3)$