Страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

20.25. Известно, что $\sin \alpha = 0,5$:

1) верно ли, что $\alpha = 30^{\circ}$?

2) Укажите несколько углов, синус которых равен 0,5;

3) укажите в общем виде все углы, синус которых равен 0,5.

1) верно ли, что α = 30°?
Утверждение не является полностью верным. Хотя $ \sin(30^\circ) $ действительно равен $0,5$, и $ \alpha = 30^\circ $ является одним из решений уравнения $ \sin\alpha = 0,5 $, это не единственное решение. Функция синуса является периодической, и также существует другой основной угол $150^\circ$, синус которого равен $0,5$, так как $ \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(150^\circ) = 0,5 $. Поскольку существуют и другие значения $ \alpha $, нельзя однозначно утверждать, что $ \alpha $ равно именно $ 30^\circ $.
Ответ: Неверно, так как это лишь одно из множества решений.

2) Укажите несколько углов, синус которых равен 0,5;
Для нахождения углов, синус которых равен $0,5$, мы можем использовать два основных значения и периодичность функции синуса.
Основные углы в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$ — это $30^\circ$ и $150^\circ$.
Так как период синуса составляет $360^\circ$, мы можем добавлять или вычитать $360^\circ$ к этим углам, чтобы получить другие решения.
Например:
$30^\circ + 360^\circ = 390^\circ$
$150^\circ + 360^\circ = 510^\circ$
$30^\circ - 360^\circ = -330^\circ$
$150^\circ - 360^\circ = -210^\circ$
Ответ: Несколько углов, синус которых равен 0,5: $30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, -210^\circ$.

3) укажите в общем виде все углы, синус которых равен 0,5.
Общая формула для нахождения всех решений уравнения $ \sin\alpha = a $ (где $ |a| \le 1 $) выглядит следующим образом:
$ \alpha = (-1)^k \arcsin(a) + 180^\circ \cdot k $, где $ k $ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае $ a = 0,5 $, а главный угол $ \arcsin(0,5) $ равен $ 30^\circ $.
Подставив это значение в общую формулу, получим выражение для всех углов $ \alpha $, синус которых равен $0,5$:
$ \alpha = (-1)^k \cdot 30^\circ + 180^\circ \cdot k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ \alpha = (-1)^k \cdot 30^\circ + 180^\circ \cdot k, k \in \mathbb{Z} $.

20.26. Известно, что $cos a = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

1) верно ли, что $a = 45^\circ$?

2) Укажите несколько углов, косинус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) укажите в общем виде все углы, косинус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1) верно ли, что a = 45°?

Нет, это утверждение не является верным в общем случае. Хотя угол $a = 45°$ действительно является одним из решений уравнения $\cos(a) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поскольку $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, он не является единственным решением. Например, угол $a = -45°$ также удовлетворяет этому условию, так как функция косинуса четная, и $\cos(-45°) = \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку существуют и другие углы, для которых косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, нельзя однозначно утверждать, что $a$ равно именно $45°$.

Ответ: Нет, неверно, так как это не единственное возможное значение для угла $a$.

2) Укажите несколько углов, косинус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Чтобы найти другие углы, можно использовать свойства функции косинуса:
- Четность функции: $\cos(-a) = \cos(a)$. Так как $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то и $\cos(-45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Периодичность функции: $\cos(a + 360° \cdot k) = \cos(a)$ для любого целого числа $k$. Мы можем прибавлять к найденным углам любое количество полных оборотов ($360°$).
Примеры таких углов:
- $a = 45°$
- $a = -45°$
- $a = 315°$ (этот угол равен $-45° + 360°$)
- $a = 405°$ (этот угол равен $45° + 360°$)
- $a = 765°$ (этот угол равен $45° + 2 \cdot 360°$)

Ответ: $45°, -45°, 315°, 405°$.

3) укажите в общем виде все углы, косинус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение тригонометрического уравнения вида $\cos(a) = b$ записывается с помощью формулы:
$a = \pm \arccos(b) + 360° \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае $b = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Главное значение угла (арккосинус), косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45°$.
$\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45°$.
Подставляя это значение в общую формулу, получаем все углы $a$, которые удовлетворяют исходному условию:
$a = \pm 45° + 360° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $a = \pm 45° + 360° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

20.27. Возможно ли равенство:

1) $\sin\alpha + 2\cos\alpha = 3;$

2) $3\sin\alpha - 2\cos\alpha = 5;$

3) $\sin\alpha - 7\cos\alpha = -8;$

4) $\sin\alpha + 2\cos\alpha = 1?$

Для проверки возможности равенств вида $A\sin\alpha + B\cos\alpha = C$ используется метод оценки диапазона значений левой части. Выражение $A\sin\alpha + B\cos\alpha$ может быть преобразовано к виду $\sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+\phi)$, где $\phi$ - вспомогательный угол. Поскольку синус принимает значения от $-1$ до $1$, множество значений выражения $A\sin\alpha + B\cos\alpha$ представляет собой отрезок $[-\sqrt{A^2+B^2}; \sqrt{A^2+B^2}]$. Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда значение $C$ принадлежит этому отрезку. Это эквивалентно выполнению неравенства $|C| \le \sqrt{A^2+B^2}$ или $C^2 \le A^2+B^2$.

1) Проверим равенство $\sin\alpha + 2\cos\alpha = 3$.В данном случае коэффициенты $A=1$, $B=2$ и $C=3$.Найдем сумму квадратов коэффициентов при синусе и косинусе: $A^2 + B^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.Найдем квадрат правой части: $C^2 = 3^2 = 9$.Сравниваем значения и видим, что $9 > 5$, то есть $C^2 > A^2+B^2$.Это означает, что значение $3$ не входит в диапазон значений выражения $\sin\alpha + 2\cos\alpha$, который равен $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$. Следовательно, равенство невозможно.
Ответ: нет.

2) Проверим равенство $3\sin\alpha - 2\cos\alpha = 5$.Здесь $A=3$, $B=-2$ и $C=5$.Сумма квадратов коэффициентов: $A^2 + B^2 = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$.Квадрат правой части: $C^2 = 5^2 = 25$.Поскольку $25 > 13$, то есть $C^2 > A^2+B^2$, равенство невозможно. Максимальное значение выражения $3\sin\alpha - 2\cos\alpha$ равно $\sqrt{13}$, что меньше $5$.
Ответ: нет.

3) Проверим равенство $\sin\alpha - 7\cos\alpha = -8$.Здесь $A=1$, $B=-7$ и $C=-8$.Сумма квадратов коэффициентов: $A^2 + B^2 = 1^2 + (-7)^2 = 1 + 49 = 50$.Квадрат правой части: $C^2 = (-8)^2 = 64$.Так как $64 > 50$, то есть $C^2 > A^2+B^2$, равенство невозможно. Минимальное значение выражения $\sin\alpha - 7\cos\alpha$ равно $-\sqrt{50}$, а $-8$ (что равно $-\sqrt{64}$) меньше этого значения.
Ответ: нет.

4) Проверим равенство $\sin\alpha + 2\cos\alpha = 1$.Здесь $A=1$, $B=2$ и $C=1$.Сумма квадратов коэффициентов: $A^2 + B^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.Квадрат правой части: $C^2 = 1^2 = 1$.В этом случае $1 \le 5$, то есть $C^2 \le A^2+B^2$.Условие выполняется, так как значение $1$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$, который является множеством значений выражения $\sin\alpha + 2\cos\alpha$. Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: да.

20.28. Сравните значения выражений $A = 2\cos\beta$ и $B = 3\mathrm{tg}\beta$, если:

1) $\beta = 30^\circ$;

2) $\beta = 45^\circ$;

3) $\beta = 60^\circ$.

1) Если $\beta = 30^\circ$, то:

$A = 2\cos\beta = 2\cos30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

$B = 3\text{tg}\beta = 3\text{tg}30^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $A = B$.

Ответ: $A = B$.

2) Если $\beta = 45^\circ$, то:

$A = 2\cos\beta = 2\cos45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

$B = 3\text{tg}\beta = 3\text{tg}45^\circ = 3 \cdot 1 = 3$.

Чтобы сравнить $A = \sqrt{2}$ и $B = 3$, возведем оба положительных числа в квадрат: $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $3^2 = 9$. Так как $2 < 9$, то $\sqrt{2} < 3$. Следовательно, $A < B$.

Ответ: $A < B$.

3) Если $\beta = 60^\circ$, то:

$A = 2\cos\beta = 2\cos60^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

$B = 3\text{tg}\beta = 3\text{tg}60^\circ = 3\sqrt{3}$.

Сравним $A = 1$ и $B = 3\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $3\sqrt{3} > 3 \cdot 1$, то есть $3\sqrt{3} > 3$. Поскольку $3 > 1$, то $3\sqrt{3} > 1$. Следовательно, $A < B$.

Ответ: $A < B$.

20.29. В какой четверти находится угол $\alpha$, если:

1) $ \sin \alpha + \cos \alpha = -1,3 $;

2) $ \sin \alpha - \cos \alpha = 1,3 $?

1)

Дано уравнение $ \sin\alpha + \cos\alpha = -1,3 $. Для определения четверти, в которой находится угол $ \alpha $, проанализируем возможные знаки и значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $.
Известно, что $ -1 \le \sin\alpha \le 1 $ и $ -1 \le \cos\alpha \le 1 $.
Рассмотрим знаки в каждой четверти:
- В I четверти $ \sin\alpha > 0 $ и $ \cos\alpha > 0 $, следовательно, их сумма $ \sin\alpha + \cos\alpha $ будет положительной. Это противоречит условию $ -1,3 $.
- Во II четверти ($ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha < 0 $) и в IV четверти ($ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha > 0 $), сумма $ \sin\alpha + \cos\alpha $ находится в диапазоне $ [-1, 1] $. Это можно показать, преобразовав выражение: $ \sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) $. Так как $ -1 \le \sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) \le 1 $, то $ -\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2} $. Однако, если рассмотреть отдельно II и IV четверти, то в них сумма не выходит за пределы от -1 до 1. Поскольку $ -1,3 < -1 $, эти варианты не подходят.
- В III четверти $ \sin\alpha < 0 $ и $ \cos\alpha < 0 $. В этом случае их сумма всегда отрицательна. Минимальное значение суммы достигается при $ \alpha = \frac{5\pi}{4} $ и равно $ -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \approx -1,414 $. Максимальное значение стремится к -1 на границах четверти. Так как $ -\sqrt{2} < -1,3 < -1 $, то такое значение суммы возможно только в III четверти.

Для проверки возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (-1,3)^2 $
$ \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1,69 $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:
$ 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1,69 $
$ 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,69 $
$ \sin(2\alpha) = 0,69 $
Положительное значение $ \sin(2\alpha) $ означает, что угол $ 2\alpha $ находится в I или II четверти.Если $ \alpha $ находится в III четверти, то $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.Тогда для угла $ 2\alpha $ имеем: $ 2\pi < 2\alpha < 3\pi $. Этот интервал для $ 2\alpha $ на единичной окружности соответствует I и II четвертям, где синус положителен. Это подтверждает, что $ \alpha $ находится в III четверти.
Ответ: угол $ \alpha $ находится в III четверти.

2)

Дано уравнение $ \sin\alpha - \cos\alpha = 1,3 $. Проанализируем возможные знаки и значения в каждой четверти.
- В I четверти ($ \sin\alpha > 0 $, $ \cos\alpha > 0 $) и в III четверти ($ \sin\alpha < 0 $, $ \cos\alpha < 0 $) значение выражения $ \sin\alpha - \cos\alpha $ находится в диапазоне $ [-1, 1] $. Значение $ 1,3 $ больше 1, поэтому эти четверти не подходят.
- В IV четверти $ \sin\alpha < 0 $ и $ \cos\alpha > 0 $. Тогда разность $ \sin\alpha - \cos\alpha $ всегда будет отрицательной (отрицательное число минус положительное), что противоречит условию $ 1,3 > 0 $.
- Во II четверти $ \sin\alpha > 0 $ и $ \cos\alpha < 0 $. Разность $ \sin\alpha - \cos\alpha $ будет всегда положительной (положительное число минус отрицательное). Максимальное значение разности достигается при $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $ и равно $ \sin(\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \approx 1,414 $. На границах четверти значение разности равно 1. Так как $ 1 < 1,3 < \sqrt{2} $, то такое значение возможно только во II четверти.

Для проверки возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = (1,3)^2 $
$ \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1,69 $
$ 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1,69 $
$ -2\sin\alpha\cos\alpha = 0,69 $
$ \sin(2\alpha) = -0,69 $
Отрицательное значение $ \sin(2\alpha) $ означает, что угол $ 2\alpha $ находится в III или IV четверти.Если $ \alpha $ находится во II четверти, то $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.Тогда для угла $ 2\alpha $ имеем: $ \pi < 2\alpha < 2\pi $. Этот интервал для $ 2\alpha $ как раз и является III и IV четвертями, где синус отрицателен. Это подтверждает, что $ \alpha $ находится во II четверти.
Ответ: угол $ \alpha $ находится во II четверти.

20.30. Имеет ли смысл выражение:

1) $\sqrt{\sin 150^\circ}$;

2) $\sqrt{-\cos 180^\circ}$;

3) $\sqrt{\cos 120^\circ}$;

4) $\sqrt{\operatorname{tg} 180^\circ}$?

Для того чтобы выражение $\sqrt{a}$ имело смысл в действительных числах, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $a \ge 0$. Проверим это условие для каждого из данных выражений.

1) $\sqrt{\sin150^{\circ}}$

Найдем значение подкоренного выражения $\sin150^{\circ}$. Угол $150^{\circ}$ принадлежит второй координатной четверти ($90^{\circ} < 150^{\circ} < 180^{\circ}$), а синус в этой четверти положителен. Точное значение можно найти по формуле приведения: $\sin150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin30^{\circ} = \frac{1}{2}$. Так как подкоренное выражение $\sin150^{\circ} = \frac{1}{2} > 0$, то данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

2) $\sqrt{-\cos180^{\circ}}$

Найдем значение подкоренного выражения $-\cos180^{\circ}$. Сначала вычислим $\cos180^{\circ}$. На единичной окружности углу $180^{\circ}$ соответствует точка с координатами $(-1, 0)$, поэтому $\cos180^{\circ} = -1$. Тогда подкоренное выражение равно $-\cos180^{\circ} = -(-1) = 1$. Так как подкоренное выражение равно $1$, что больше нуля, то данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3) $\sqrt{\cos120^{\circ}}$

Найдем значение подкоренного выражения $\cos120^{\circ}$. Угол $120^{\circ}$ принадлежит второй координатной четверти ($90^{\circ} < 120^{\circ} < 180^{\circ}$), а косинус в этой четверти отрицателен. Точное значение можно найти по формуле приведения: $\cos120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos60^{\circ} = -\frac{1}{2}$. Так как подкоренное выражение $\cos120^{\circ} = -\frac{1}{2} < 0$, а квадратный корень из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел, то данное выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

4) $\sqrt{\tan180^{\circ}}$

Найдем значение подкоренного выражения $\tan180^{\circ}$. Тангенс определяется по формуле $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Для угла $180^{\circ}$ имеем $\sin180^{\circ} = 0$ и $\cos180^{\circ} = -1$. Следовательно, $\tan180^{\circ} = \frac{0}{-1} = 0$. Так как подкоренное выражение равно $0$, а $\sqrt{0} = 0$, то данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

20.31. Сравните значения выражений $A = -3sin\beta$ и $B = -2cos\beta$, если:

1) $\beta = 30^\circ$;

2) $\beta = 45^\circ$;

3) $\beta = 60^\circ$.

1) $\beta = 30^\circ$;

Подставим значение $\beta = 30^\circ$ в выражения для A и B.

Вычислим значение A: $A = -3\sin\beta = -3\sin(30^\circ) = -3 \cdot \frac{1}{2} = -1.5$.

Вычислим значение B: $B = -2\cos\beta = -2\cos(30^\circ) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

Теперь сравним полученные значения: $A = -1.5$ и $B = -\sqrt{3}$. Для этого сравним их модули: $1.5$ и $\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $1.5^2 = 2.25$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$. Поскольку $2.25 < 3$, то $1.5 < \sqrt{3}$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-1.5 > -\sqrt{3}$. Следовательно, $A > B$.

Ответ: $A > B$.

2) $\beta = 45^\circ$;

Подставим значение $\beta = 45^\circ$ в выражения для A и B.

Вычислим значение A: $A = -3\sin\beta = -3\sin(45^\circ) = -3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Вычислим значение B: $B = -2\cos\beta = -2\cos(45^\circ) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.

Теперь сравним полученные значения: $A = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$ и $B = -\sqrt{2}$. Сравним их модули: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$. Так как $\frac{3}{2} > 1$, то и $\frac{3\sqrt{2}}{2} > \sqrt{2}$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{3\sqrt{2}}{2} < -\sqrt{2}$. Следовательно, $A < B$.

Ответ: $A < B$.

3) $\beta = 60^\circ$.

Подставим значение $\beta = 60^\circ$ в выражения для A и B.

Вычислим значение A: $A = -3\sin\beta = -3\sin(60^\circ) = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Вычислим значение B: $B = -2\cos\beta = -2\cos(60^\circ) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.

Теперь сравним полученные значения: $A = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$ и $B = -1$. Сравним их модули: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ и $1$. Возведем оба числа в квадрат: $(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$, а $1^2 = 1$. Поскольку $6.75 > 1$, то $\frac{3\sqrt{3}}{2} > 1$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{3\sqrt{3}}{2} < -1$. Следовательно, $A < B$.

Ответ: $A < B$.

20.32. 1) В середине XVIII в., благодаря швейцарскому математику Леонарду Эйлеру, тригонометрия приняла современный вид. Ученый разработал ее как науку о тригонометрических функциях, ввел записи $sinx$, $tgx$, стороны $\triangle ABC$ обозначил через $a$, $b$, $c$ и углы, противоположные этим сторонам, соответственно через $A$, $B$, $C$.

Л. Эйлер рассматривал тригонометрические функции аргумента $x$ — радианной меры соответствующего угла, давая этому аргументу различные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

Леонард Эйлер

(1707–1783)

Региомонтан

(1436–1476)

2) Выдающийся немецкий астроном XV века Региомонтан составил таблицу синусов плоских углов с точностью до седьмой значащей цифры.

1) В середине XVIII века, благодаря швейцарскому математику Леонарду Эйлеру, тригонометрия приобрела свой современный аналитический вид. Эйлер систематизировал эту область знаний, представив ее как науку о тригонометрических функциях, а не просто как раздел геометрии для решения треугольников. Его ключевые вклады включают:

• Введение стандартных обозначений: Он ввел и закрепил в математике краткие и удобные записи для тригонометрических функций, такие как $sin\,x$, $cos\,x$, $tg\,x$, которые используются повсеместно и сегодня. Он также предложил стандартную систему обозначений для элементов треугольника: стороны $a, b, c$ и противолежащие им углы $A, B, C$.
• Расширение понятия функции: Эйлер начал рассматривать тригонометрические функции от аргумента $x$, который мог принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные), а не только значения углов от 0 до 90 градусов. Аргумент $x$ стал пониматься как радианная мера угла. Вершиной этого подхода стало распространение тригонометрических функций на область комплексных чисел с помощью знаменитой формулы Эйлера: $e^{ix} = \cos x + i\sin x$.
• Введение обратных функций: Он также ввел и начал систематически изучать обратные тригонометрические функции (аркфункции), такие как $arcsin\,x$, $arccos\,x$, $arctg\,x$, которые являются неотъемлемой частью современного математического анализа.

Таким образом, Эйлер превратил тригонометрию в мощный инструмент анализа, глубоко связанный с другими разделами математики.Ответ:

2) Выдающийся немецкий астроном и математик XV века Региомонтан (настоящее имя — Иоганн Мюллер фон Кёнигсберг) внес фундаментальный вклад в развитие тригонометрии задолго до Эйлера, заложив основы для ее становления как самостоятельной дисциплины. Его главным достижением, упомянутым в тексте, является составление подробных и исключительно точных для своего времени тригонометрических таблиц. Он вычислил таблицы синусов (а также тангенсов) с точностью до седьмой значащей цифры. В эпоху до изобретения калькуляторов и компьютеров такие таблицы были бесценным инструментом для проведения точных вычислений в астрономии (например, для расчета траекторий небесных тел), навигации и геодезии. Труд Региомонтана по составлению таблиц был колоссальной вычислительной работой, которая значительно повысила точность научных и инженерных расчетов и оставалась стандартом на протяжении многих лет.Ответ: