Номер 20.26, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.26. Известно, что $cos a = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

1) верно ли, что $a = 45^\circ$?

2) Укажите несколько углов, косинус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) укажите в общем виде все углы, косинус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1) верно ли, что a = 45°?

Нет, это утверждение не является верным в общем случае. Хотя угол $a = 45°$ действительно является одним из решений уравнения $\cos(a) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поскольку $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, он не является единственным решением. Например, угол $a = -45°$ также удовлетворяет этому условию, так как функция косинуса четная, и $\cos(-45°) = \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку существуют и другие углы, для которых косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, нельзя однозначно утверждать, что $a$ равно именно $45°$.

Ответ: Нет, неверно, так как это не единственное возможное значение для угла $a$.

2) Укажите несколько углов, косинус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Чтобы найти другие углы, можно использовать свойства функции косинуса:
- Четность функции: $\cos(-a) = \cos(a)$. Так как $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то и $\cos(-45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Периодичность функции: $\cos(a + 360° \cdot k) = \cos(a)$ для любого целого числа $k$. Мы можем прибавлять к найденным углам любое количество полных оборотов ($360°$).
Примеры таких углов:
- $a = 45°$
- $a = -45°$
- $a = 315°$ (этот угол равен $-45° + 360°$)
- $a = 405°$ (этот угол равен $45° + 360°$)
- $a = 765°$ (этот угол равен $45° + 2 \cdot 360°$)

Ответ: $45°, -45°, 315°, 405°$.

3) укажите в общем виде все углы, косинус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение тригонометрического уравнения вида $\cos(a) = b$ записывается с помощью формулы:
$a = \pm \arccos(b) + 360° \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае $b = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Главное значение угла (арккосинус), косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45°$.
$\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45°$.
Подставляя это значение в общую формулу, получаем все углы $a$, которые удовлетворяют исходному условию:
$a = \pm 45° + 360° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $a = \pm 45° + 360° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.