Номер 20.30, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.30. Имеет ли смысл выражение:

1) $\sqrt{\sin 150^\circ}$;

2) $\sqrt{-\cos 180^\circ}$;

3) $\sqrt{\cos 120^\circ}$;

4) $\sqrt{\operatorname{tg} 180^\circ}$?

Для того чтобы выражение $\sqrt{a}$ имело смысл в действительных числах, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $a \ge 0$. Проверим это условие для каждого из данных выражений.

1) $\sqrt{\sin150^{\circ}}$

Найдем значение подкоренного выражения $\sin150^{\circ}$. Угол $150^{\circ}$ принадлежит второй координатной четверти ($90^{\circ} < 150^{\circ} < 180^{\circ}$), а синус в этой четверти положителен. Точное значение можно найти по формуле приведения: $\sin150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin30^{\circ} = \frac{1}{2}$. Так как подкоренное выражение $\sin150^{\circ} = \frac{1}{2} > 0$, то данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

2) $\sqrt{-\cos180^{\circ}}$

Найдем значение подкоренного выражения $-\cos180^{\circ}$. Сначала вычислим $\cos180^{\circ}$. На единичной окружности углу $180^{\circ}$ соответствует точка с координатами $(-1, 0)$, поэтому $\cos180^{\circ} = -1$. Тогда подкоренное выражение равно $-\cos180^{\circ} = -(-1) = 1$. Так как подкоренное выражение равно $1$, что больше нуля, то данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3) $\sqrt{\cos120^{\circ}}$

Найдем значение подкоренного выражения $\cos120^{\circ}$. Угол $120^{\circ}$ принадлежит второй координатной четверти ($90^{\circ} < 120^{\circ} < 180^{\circ}$), а косинус в этой четверти отрицателен. Точное значение можно найти по формуле приведения: $\cos120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos60^{\circ} = -\frac{1}{2}$. Так как подкоренное выражение $\cos120^{\circ} = -\frac{1}{2} < 0$, а квадратный корень из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел, то данное выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

4) $\sqrt{\tan180^{\circ}}$

Найдем значение подкоренного выражения $\tan180^{\circ}$. Тангенс определяется по формуле $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Для угла $180^{\circ}$ имеем $\sin180^{\circ} = 0$ и $\cos180^{\circ} = -1$. Следовательно, $\tan180^{\circ} = \frac{0}{-1} = 0$. Так как подкоренное выражение равно $0$, а $\sqrt{0} = 0$, то данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.