Номер 20.31, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.31. Сравните значения выражений $A = -3sin\beta$ и $B = -2cos\beta$, если:

1) $\beta = 30^\circ$;

2) $\beta = 45^\circ$;

3) $\beta = 60^\circ$.

1) $\beta = 30^\circ$;

Подставим значение $\beta = 30^\circ$ в выражения для A и B.

Вычислим значение A: $A = -3\sin\beta = -3\sin(30^\circ) = -3 \cdot \frac{1}{2} = -1.5$.

Вычислим значение B: $B = -2\cos\beta = -2\cos(30^\circ) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

Теперь сравним полученные значения: $A = -1.5$ и $B = -\sqrt{3}$. Для этого сравним их модули: $1.5$ и $\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $1.5^2 = 2.25$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$. Поскольку $2.25 < 3$, то $1.5 < \sqrt{3}$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-1.5 > -\sqrt{3}$. Следовательно, $A > B$.

Ответ: $A > B$.

2) $\beta = 45^\circ$;

Подставим значение $\beta = 45^\circ$ в выражения для A и B.

Вычислим значение A: $A = -3\sin\beta = -3\sin(45^\circ) = -3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Вычислим значение B: $B = -2\cos\beta = -2\cos(45^\circ) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.

Теперь сравним полученные значения: $A = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$ и $B = -\sqrt{2}$. Сравним их модули: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$. Так как $\frac{3}{2} > 1$, то и $\frac{3\sqrt{2}}{2} > \sqrt{2}$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{3\sqrt{2}}{2} < -\sqrt{2}$. Следовательно, $A < B$.

Ответ: $A < B$.

3) $\beta = 60^\circ$.

Подставим значение $\beta = 60^\circ$ в выражения для A и B.

Вычислим значение A: $A = -3\sin\beta = -3\sin(60^\circ) = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Вычислим значение B: $B = -2\cos\beta = -2\cos(60^\circ) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.

Теперь сравним полученные значения: $A = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$ и $B = -1$. Сравним их модули: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ и $1$. Возведем оба числа в квадрат: $(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$, а $1^2 = 1$. Поскольку $6.75 > 1$, то $\frac{3\sqrt{3}}{2} > 1$. При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{3\sqrt{3}}{2} < -1$. Следовательно, $A < B$.

Ответ: $A < B$.