Номер 20.37, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.37. На координатной плоскости изобразите множество решений системы неравенств:

1)

$$ \begin{cases} 2 \le x \le 6, \\ -1 \le y \le 3; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} -1 \le x \le 3, \\ -1 \le y \le 4; \end{cases} $$

3)

$$ \begin{cases} 0 \le x \le 4, \\ y \le 3 - x; \end{cases} $$

4)

$$ \begin{cases} -2 \le x \le 2, \\ y \le x^2 - 1. \end{cases} $$

1)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} 2 \le x \le 6 \\ -1 \le y \le 3 \end{cases} $
Первое неравенство $2 \le x \le 6$ задает вертикальную полосу, ограниченную прямыми $x=2$ и $x=6$.
Второе неравенство $-1 \le y \le 3$ задает горизонтальную полосу, ограниченную прямыми $y=-1$ и $y=3$.
Множество решений системы является пересечением этих двух полос, что представляет собой прямоугольник с вершинами в точках $(2, -1)$, $(6, -1)$, $(6, 3)$ и $(2, 3)$. Поскольку неравенства нестрогие, границы прямоугольника включаются в множество решений.

Ответ: Множество решений представляет собой прямоугольник, ограниченный прямыми $x=2$, $x=6$, $y=-1$ и $y=3$, включая сами прямые.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} -1 \le x \le 3 \\ -1 \le y \le 4 \end{cases} $
Первое неравенство $-1 \le x \le 3$ задает вертикальную полосу между прямыми $x=-1$ и $x=3$.
Второе неравенство $-1 \le y \le 4$ задает горизонтальную полосу между прямыми $y=-1$ и $y=4$.
Множество решений системы — это пересечение этих полос, которое является прямоугольником с вершинами в точках $(-1, -1)$, $(3, -1)$, $(3, 4)$ и $(-1, 4)$. Границы включены в решение, так как неравенства нестрогие.

Ответ: Множество решений представляет собой прямоугольник, ограниченный прямыми $x=-1$, $x=3$, $y=-1$, $y=4$, включая сами прямые.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ y \le 3-x \end{cases} $
Первое неравенство $0 \le x \le 4$ задает вертикальную полосу между осью ординат ($x=0$) и прямой $x=4$.
Второе неравенство $y \le 3-x$ задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = 3-x$ (включая саму прямую). Эта прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.
Множество решений системы — это пересечение этих двух областей. В результате получается бесконечная фигура, ограниченная сверху отрезком прямой $y=3-x$ (для $x$ от 0 до 4), слева — лучом прямой $x=0$ (для $y \le 3$), и справа — лучом прямой $x=4$ (для $y \le -1$).

Ответ: Множество решений представляет собой неограниченную снизу область, заключенную между прямыми $x=0$ и $x=4$ и находящуюся под прямой $y=3-x$.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ y \le x^2 - 1 \end{cases} $
Первое неравенство $-2 \le x \le 2$ задает вертикальную полосу, ограниченную прямыми $x=-2$ и $x=2$.
Второе неравенство $y \le x^2 - 1$ задает область, расположенную ниже параболы $y = x^2 - 1$ (включая саму параболу). Вершина этой параболы находится в точке $(0, -1)$.
Множество решений системы — это пересечение этих двух областей. Это неограниченная снизу фигура, ограниченная сверху дугой параболы $y = x^2 - 1$ на отрезке $x \in [-2, 2]$, слева — лучом прямой $x=-2$ (для $y \le 3$), и справа — лучом прямой $x=2$ (для $y \le 3$).

Ответ: Множество решений представляет собой неограниченную снизу область, заключенную между прямыми $x=-2$ и $x=2$ и находящуюся под параболой $y=x^2-1$.