Номер 20.40, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.40. На одной координатной плоскости постройте график функции и найдите координаты их точек пересечения (приближенно):

1) $y = x^2 - 2x$ и $y = x - 2;$

2) $y = -x^2 - 4x$ и $y = x^2 - 2.$

1)

Для построения графиков функций $y = x^2 - 2x$ и $y = x - 2$ на одной координатной плоскости проанализируем каждую функцию.

График функции $y = x^2 - 2x$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

$y_0 = (1)^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
При $x=0$, $y=0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, 0)$.
При $y=0$, $x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$. Точки пересечения с осью Ox — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

График функции $y = x - 2$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:

При $x=0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
При $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Построим графики на координатной плоскости. Парабола $y=x^2-2x$ изображена синим цветом, прямая $y=x-2$ — зеленым. Точки их пересечения отмечены красным.

Для нахождения точных координат точек пересечения решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 - 2x \\ y = x - 2 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений: $x^2 - 2x = x - 2$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 1 - 2 = -1$.

При $x_2 = 2$, $y_2 = 2 - 2 = 0$.

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(1, -1)$ и $(2, 0)$, что совпадает с точками на графике.

Ответ: $(1, -1)$ и $(2, 0)$.

2)

Построим графики функций $y = -x^2 - 4x$ и $y = x^2 - 2$ на одной координатной плоскости.

График функции $y = -x^2 - 4x$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви направлены вниз. Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$

$y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$

Вершина параболы находится в точке $(-2, 4)$.

График функции $y = x^2 - 2$ — это парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$

$y_0 = 0^2 - 2 = -2$

Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

Построим графики. Парабола $y = -x^2 - 4x$ изображена синим цветом, парабола $y = x^2 - 2$ — зеленым. Точки их пересечения отмечены красным.

Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x^2 - 4x \\ y = x^2 - 2 \end{cases}$

Приравняем правые части: $-x^2 - 4x = x^2 - 2$.

Перенесем все члены в правую часть: $0 = 2x^2 + 4x - 2$.

Разделим уравнение на 2: $x^2 + 2x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Получаем два значения для $x$: $x_1 = -1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение $y=x^2-2$:

При $x_1 = -1 + \sqrt{2}$: $y_1 = (-1 + \sqrt{2})^2 - 2 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 2 = 1 - 2\sqrt{2}$.

При $x_2 = -1 - \sqrt{2}$: $y_2 = (-1 - \sqrt{2})^2 - 2 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 2 = 1 + 2\sqrt{2}$.

Приближенные значения, используя $\sqrt{2} \approx 1.41$:

$x_1 \approx -1 + 1.41 = 0.41$, $y_1 \approx 1 - 2 \cdot 1.41 = 1 - 2.82 = -1.82$. Точка $\approx (0.4, -1.8)$.

$x_2 \approx -1 - 1.41 = -2.41$, $y_2 \approx 1 + 2 \cdot 1.41 = 1 + 2.82 = 3.82$. Точка $\approx (-2.4, 3.8)$.

Ответ: $(-1 + \sqrt{2}, 1 - 2\sqrt{2})$ и $(-1 - \sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$, что приблизительно равно $(0.4, -1.8)$ и $(-2.4, 3.8)$.