Номер 21.4, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.4. Найдите знак значения выражения:

1) $\sin \frac{3\pi}{5}$;

2) $\sin \frac{7\pi}{4}$;

3) $\cos \frac{13\pi}{3}$;

4) $\cos \frac{31\pi}{7}$;

5) $\tan \frac{15\pi}{4}$;

6) $\cot \frac{36\pi}{11}$;

7) $\sin 2,7\pi$;

8) $\sin (-1,4\pi)$;

9) $\cos (-3,5\pi)$;

10) $\cos (-5,6\pi)$;

11) $\tan (-4,2\pi)$;

12) $\cot (-5,2\pi)$.

1) $\sin\frac{3\pi}{5}$: Для определения знака значения выражения найдем, в какой координатной четверти находится угол $\alpha = \frac{3\pi}{5}$. Сравним его с граничными значениями четвертей: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. Так как $\frac{\pi}{2} = \frac{2,5\pi}{5}$ и $\pi = \frac{5\pi}{5}$, то выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi$. Следовательно, угол находится во второй четверти. Функция синус во второй четверти имеет положительное значение.
Ответ: +.

2) $\sin\frac{7\pi}{4}$: Угол $\alpha = \frac{7\pi}{4}$. Сравним его с границами четвертей: $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$ и $2\pi = \frac{8\pi}{4}$. Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$, угол находится в четвертой четверти. Синус в четвертой четверти отрицателен.
Ответ: –.

3) $\cos\frac{13\pi}{3}$: Упростим угол, используя периодичность функции косинус (период $2\pi$). Выделим целое число оборотов ($2\pi$): $\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = \frac{12\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\cos\frac{13\pi}{3} = \cos(4\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$), где косинус положителен.
Ответ: +.

4) $\cos\frac{31\pi}{7}$: Упростим угол, используя периодичность косинуса (период $2\pi$): $\frac{31\pi}{7} = \frac{28\pi + 3\pi}{7} = 4\pi + \frac{3\pi}{7}$. Следовательно, $\cos\frac{31\pi}{7} = \cos(4\pi + \frac{3\pi}{7}) = \cos\frac{3\pi}{7}$. Определим четверть для угла $\frac{3\pi}{7}$. Сравним с $\frac{\pi}{2} = \frac{3,5\pi}{7}$. Так как $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в первой четверти, где косинус положителен.
Ответ: +.

5) $\operatorname{tg}\frac{15\pi}{4}$: Упростим угол, используя периодичность тангенса (период $\pi$): $\frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\operatorname{tg}\frac{15\pi}{4} = \operatorname{tg}(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4})$. Тангенс — нечетная функция, поэтому $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$. Угол $\frac{\pi}{4}$ в первой четверти, $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) > 0$, значит $-\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) < 0$. Также можно сказать, что угол $-\frac{\pi}{4}$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен.
Ответ: –.

6) $\operatorname{ctg}\frac{36\pi}{11}$: Упростим угол, используя периодичность котангенса (период $\pi$): $\frac{36\pi}{11} = \frac{33\pi + 3\pi}{11} = 3\pi + \frac{3\pi}{11}$. Таким образом, $\operatorname{ctg}\frac{36\pi}{11} = \operatorname{ctg}(3\pi + \frac{3\pi}{11}) = \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{11}$. Определим четверть для угла $\frac{3\pi}{11}$. Сравним с $\frac{\pi}{2} = \frac{5,5\pi}{11}$. Так как $0 < \frac{3\pi}{11} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в первой четверти, где котангенс положителен.
Ответ: +.

7) $\sin(2,7\pi)$: Упростим угол, используя периодичность синуса (период $2\pi$): $2,7\pi = 2\pi + 0,7\pi$. Таким образом, $\sin(2,7\pi) = \sin(2\pi + 0,7\pi) = \sin(0,7\pi)$. Угол $0,7\pi$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 0,7\pi < \pi$ (поскольку $0,5\pi < 0,7\pi < \pi$). Синус во второй четверти положителен.
Ответ: +.

8) $\sin(-1,4\pi)$: Используем периодичность синуса (период $2\pi$). Прибавим к аргументу $2\pi$, чтобы получить положительный угол в пределах одного оборота: $\sin(-1,4\pi) = \sin(-1,4\pi + 2\pi) = \sin(0,6\pi)$. Угол $0,6\pi$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 0,6\pi < \pi$ (поскольку $0,5\pi < 0,6\pi < \pi$). Синус во второй четверти положителен.
Ответ: +.

9) $\cos(-3,5\pi)$: Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-3,5\pi) = \cos(3,5\pi)$. Используя периодичность (период $2\pi$), получаем: $\cos(3,5\pi) = \cos(2\pi + 1,5\pi) = \cos(1,5\pi) = \cos(\frac{3\pi}{2})$. Значение косинуса в этой точке равно 0. Выражение не является ни положительным, ни отрицательным.
Ответ: 0.

10) $\cos(-5,6\pi)$: Косинус — четная функция: $\cos(-5,6\pi) = \cos(5,6\pi)$. Используя периодичность (период $2\pi$), получаем: $\cos(5,6\pi) = \cos(4\pi + 1,6\pi) = \cos(1,6\pi)$. Угол $1,6\pi$ находится в четвертой четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < 1,6\pi < 2\pi$ (поскольку $1,5\pi < 1,6\pi < 2\pi$). Косинус в четвертой четверти положителен.
Ответ: +.

11) $\operatorname{tg}(-4,2\pi)$: Тангенс — нечетная функция: $\operatorname{tg}(-4,2\pi) = -\operatorname{tg}(4,2\pi)$. Упростим угол $4,2\pi$ используя периодичность тангенса (период $\pi$): $4,2\pi = 4\pi + 0,2\pi$. Тогда $\operatorname{tg}(4,2\pi) = \operatorname{tg}(0,2\pi)$. Угол $0,2\pi$ находится в первой четверти, где тангенс положителен. Значит, $-\operatorname{tg}(0,2\pi)$ отрицателен.
Ответ: –.

12) $\operatorname{ctg}(-5,2\pi)$: Котангенс — нечетная функция: $\operatorname{ctg}(-5,2\pi) = -\operatorname{ctg}(5,2\pi)$. Упростим угол $5,2\pi$ используя периодичность котангенса (период $\pi$): $5,2\pi = 5\pi + 0,2\pi$. Тогда $\operatorname{ctg}(5,2\pi) = \operatorname{ctg}(0,2\pi)$. Угол $0,2\pi$ находится в первой четверти, где котангенс положителен. Значит, $-\operatorname{ctg}(0,2\pi)$ отрицателен.
Ответ: –.