Номер 21.10, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.10. Докажите неравенство:

1) $\cos^2 a < \cos a$, если $270^\circ < a < 360^\circ$;

2) $\cos^2 a > \cos a$, если $180^\circ < a < 270^\circ$;

3) $\sin^2 a < \sin a$, если $90^\circ < a < 180^\circ$;

4) $\sin^2 a > \sin a$, если $270^\circ < a < 360^\circ$.

1) Требуется доказать неравенство $cos^2 α < cos α$ при условии $270° < α < 360°$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$cos^2 α - cos α < 0$
Вынесем $cos α$ за скобки:
$cos α (cos α - 1) < 0$
Рассмотрим знаки множителей. Угол $α$ находится в IV координатной четверти ($270° < α < 360°$). В этой четверти косинус принимает положительные значения, но меньше единицы, то есть $0 < cos α < 1$.
Следовательно:
Первый множитель $cos α$ положителен ($cos α > 0$).
Второй множитель $(cos α - 1)$ отрицателен, так как из $cos α < 1$ следует $cos α - 1 < 0$.
Произведение положительного и отрицательного числа является отрицательным числом. Таким образом, неравенство $cos α (cos α - 1) < 0$ выполняется, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Требуется доказать неравенство $cos^2 α > cos α$ при условии $180° < α < 270°$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$cos^2 α - cos α > 0$
Вынесем $cos α$ за скобки:
$cos α (cos α - 1) > 0$
Рассмотрим знаки множителей. Угол $α$ находится в III координатной четверти ($180° < α < 270°$). В этой четверти косинус принимает отрицательные значения, то есть $-1 < cos α < 0$.
Следовательно:
Первый множитель $cos α$ отрицателен ($cos α < 0$).
Второй множитель $(cos α - 1)$ также отрицателен, так как из $cos α < 0$ следует $cos α - 1 < -1 < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Таким образом, неравенство $cos α (cos α - 1) > 0$ выполняется, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Требуется доказать неравенство $sin^2 α < sin α$ при условии $90° < α < 180°$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$sin^2 α - sin α < 0$
Вынесем $sin α$ за скобки:
$sin α (sin α - 1) < 0$
Рассмотрим знаки множителей. Угол $α$ находится во II координатной четверти ($90° < α < 180°$). В этой четверти синус принимает положительные значения, но меньше единицы, то есть $0 < sin α < 1$.
Следовательно:
Первый множитель $sin α$ положителен ($sin α > 0$).
Второй множитель $(sin α - 1)$ отрицателен, так как из $sin α < 1$ следует $sin α - 1 < 0$.
Произведение положительного и отрицательного числа является отрицательным числом. Таким образом, неравенство $sin α (sin α - 1) < 0$ выполняется, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Требуется доказать неравенство $sin^2 α > sin α$ при условии $270° < α < 360°$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$sin^2 α - sin α > 0$
Вынесем $sin α$ за скобки:
$sin α (sin α - 1) > 0$
Рассмотрим знаки множителей. Угол $α$ находится в IV координатной четверти ($270° < α < 360°$). В этой четверти синус принимает отрицательные значения, то есть $-1 < sin α < 0$.
Следовательно:
Первый множитель $sin α$ отрицателен ($sin α < 0$).
Второй множитель $(sin α - 1)$ также отрицателен, так как из $sin α < 0$ следует $sin α - 1 < -1 < 0$.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Таким образом, неравенство $sin α (sin α - 1) > 0$ выполняется, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.