Номер 21.6, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.6. Запишите в порядке возрастания значения выражений:

1) $\sin \frac{\pi}{3}; \sin \frac{5\pi}{6}; \sin \frac{4\pi}{3};$

2) $\cos \frac{\pi}{4}; \cos \frac{5\pi}{6}; \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right);$

3) $\text{tg} \frac{\pi}{3}; \text{tg} \frac{5\pi}{6}; \text{tg} \frac{5\pi}{4}.$

1) Чтобы расположить значения выражений в порядке возрастания, необходимо вычислить значение каждого из них.

Вычислим значение $\sin\frac{\pi}{3}$. Это табличное значение тригонометрических функций:
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычислим значение $\sin\frac{5\pi}{6}$. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ :
$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Вычислим значение $\sin\frac{4\pi}{3}$. Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ :
$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь сравним полученные значения: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Отрицательное число $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ является наименьшим. Сравним положительные числа $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $1 < \sqrt{3}$, то $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются так: $-\frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это соответствует следующему порядку выражений: $\sin\frac{4\pi}{3}; \sin\frac{5\pi}{6}; \sin\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\sin\frac{4\pi}{3}; \sin\frac{5\pi}{6}; \sin\frac{\pi}{3}$.

2) Вычислим значения данных выражений.

Значение $\cos\frac{\pi}{4}$ является табличным:
$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для вычисления $\cos\frac{5\pi}{6}$ применим формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ :
$\cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для вычисления $\cos(-\frac{\pi}{6})$ используем свойство четности функции косинус $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ :
$\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь сравним полученные значения: $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшим является отрицательное число $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Сравним положительные числа $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $2 < 3$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$, и, следовательно, $\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Порядок возрастания значений: $-\frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Соответствующий порядок выражений: $\cos\frac{5\pi}{6}; \cos\frac{\pi}{4}; \cos(-\frac{\pi}{6})$.
Ответ: $\cos\frac{5\pi}{6}; \cos\frac{\pi}{4}; \cos(-\frac{\pi}{6})$.

3) Вычислим значения данных выражений.

Значение $\tan\frac{\pi}{3}$ является табличным:
$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$

Для вычисления $\tan\frac{5\pi}{6}$ применим формулу приведения $\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$ :
$\tan\frac{5\pi}{6} = \tan(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Для вычисления $\tan\frac{5\pi}{4}$ применим формулу приведения $\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$ :
$\tan\frac{5\pi}{4} = \tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan\frac{\pi}{4} = 1$

Сравним полученные значения: $\sqrt{3}$, $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $1$.
Наименьшим является отрицательное число $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Сравним положительные числа $1$ и $\sqrt{3}$. Так как $1 < 3$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3}$, что означает $1 < \sqrt{3}$.
Порядок возрастания значений следующий: $-\frac{\sqrt{3}}{3} < 1 < \sqrt{3}$.
Соответствующий порядок выражений: $\tan\frac{5\pi}{6}; \tan\frac{5\pi}{4}; \tan\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\tan\frac{5\pi}{6}; \tan\frac{5\pi}{4}; \tan\frac{\pi}{3}$.