Номер 21.13, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.13. Найдите знак выражения:

1) $1 - \sin 215^\circ \cos 135^\circ \operatorname{tg} 229^\circ$;

2) $\sin 320^\circ \cos 285^\circ \operatorname{tg} 30^\circ - 2.$

1) Рассмотрим выражение $1 - \sin(215^\circ)\cos(135^\circ)\tan(229^\circ)$.

Для определения знака выражения, сначала найдем знаки тригонометрических функций, входящих в него. Для этого определим, в каких координатных четвертях находятся углы. Знаки синуса, косинуса и тангенса по четвертям:

1. Угол $215^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 215^\circ < 270^\circ$). В этой четверти синус отрицателен, значит $\sin(215^\circ) < 0$.

2. Угол $135^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$). В этой четверти косинус отрицателен, значит $\cos(135^\circ) < 0$.

3. Угол $229^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 229^\circ < 270^\circ$). В этой четверти тангенс положителен, значит $\tan(229^\circ) > 0$.

Теперь определим знак произведения $P = \sin(215^\circ)\cos(135^\circ)\tan(229^\circ)$:

$P = (\text{минус}) \cdot (\text{минус}) \cdot (\text{плюс}) = (\text{плюс})$.

Таким образом, произведение $P$ является положительным числом ($P > 0$).

Выражение имеет вид $1 - P$. Чтобы определить его знак, нужно сравнить $P$ с единицей. Оценим величину $P$:

$P = |\sin(215^\circ)| \cdot |\cos(135^\circ)| \cdot |\tan(229^\circ)|$.

Используем формулы приведения:

$|\sin(215^\circ)| = |\sin(180^\circ + 35^\circ)| = |-\sin(35^\circ)| = \sin(35^\circ)$.

$|\cos(135^\circ)| = |\cos(180^\circ - 45^\circ)| = |-\cos(45^\circ)| = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$|\tan(229^\circ)| = |\tan(180^\circ + 49^\circ)| = \tan(49^\circ)$.

Поскольку $35^\circ < 45^\circ$, то $\sin(35^\circ) < \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $49^\circ < 60^\circ$, то $\tan(49^\circ) < \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Перемножим модули:

$P = \sin(35^\circ) \cdot \cos(45^\circ) \cdot \tan(49^\circ) < \sin(45^\circ) \cdot \cos(45^\circ) \cdot \tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2}\sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $P < \frac{1.732}{2} = 0.866$.

Мы получили, что $0 < P < 1$. Значит, разность $1 - P$ будет положительной.

Ответ: знак выражения — плюс.

2) Рассмотрим выражение $\sin(320^\circ)\cos(285^\circ)\tan(30^\circ) - 2$.

Аналогично первому пункту, определим знаки тригонометрических функций, используя схему четвертей.

1. Угол $320^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 320^\circ < 360^\circ$). В этой четверти синус отрицателен, значит $\sin(320^\circ) < 0$.

2. Угол $285^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 285^\circ < 360^\circ$). В этой четверти косинус положителен, значит $\cos(285^\circ) > 0$.

3. Угол $30^\circ$ находится в I четверти ($0^\circ < 30^\circ < 90^\circ$). В этой четверти тангенс положителен, значит $\tan(30^\circ) > 0$.

Теперь определим знак произведения $Q = \sin(320^\circ)\cos(285^\circ)\tan(30^\circ)$:

$Q = (\text{минус}) \cdot (\text{плюс}) \cdot (\text{плюс}) = (\text{минус})$.

Таким образом, произведение $Q$ является отрицательным числом ($Q < 0$).

Выражение имеет вид $Q - 2$. Мы вычитаем положительное число 2 из отрицательного числа $Q$. Результат такой операции всегда будет отрицательным числом.

Для проверки можно оценить величину $Q$. Модули синуса и косинуса любого угла не превосходят 1, то есть $|\sin(\alpha)| \le 1$ и $|\cos(\alpha)| \le 1$.

$|\sin(320^\circ)| < 1$

$|\cos(285^\circ)| < 1$

$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$

Следовательно, $|Q| = |\sin(320^\circ)| \cdot |\cos(285^\circ)| \cdot \tan(30^\circ) < 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Так как $Q < 0$ и $|Q| < 1$, то $Q$ — это число из интервала $(-1, 0)$. Тогда выражение $Q - 2$ будет являться числом из интервала $(-1-2, 0-2)$, то есть $(-3, -2)$. Это число, очевидно, отрицательное.

Ответ: знак выражения — минус.