Номер 21.20, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.20. Докажите, что для любого угла справедливо неравенство $|\sin\alpha| + |\cos\alpha| \ge 1$.

Для доказательства неравенства $|\sin \alpha| + |\cos \alpha| \geq 1$ воспользуемся методом возведения в квадрат.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны для любого угла $\alpha$ ($|\sin \alpha| \geq 0$, $|\cos \alpha| \geq 0$, следовательно, их сумма тоже неотрицательна, а $1 > 0$), мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(|\sin \alpha| + |\cos \alpha|)^2 \geq 1^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(|\sin \alpha|)^2 + 2|\sin \alpha||\cos \alpha| + (|\cos \alpha|)^2 \geq 1$

Так как квадрат модуля числа равен квадрату самого числа (например, $(|x|)^2 = x^2$), а произведение модулей равно модулю произведения ($|a||b| = |ab|$), мы можем переписать неравенство в следующем виде:

$\sin^2 \alpha + 2|\sin \alpha \cos \alpha| + \cos^2 \alpha \geq 1$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2|\sin \alpha \cos \alpha| \geq 1$

$1 + 2|\sin \alpha \cos \alpha| \geq 1$

Теперь вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$2|\sin \alpha \cos \alpha| \geq 0$

Это неравенство является верным для любого значения угла $\alpha$, так как модуль любого выражения (в данном случае $|\sin \alpha \cos \alpha|$) всегда больше или равен нулю. Умножение на положительное число 2 не изменяет этого факта.

Поскольку мы пришли к очевидно верному неравенству с помощью равносильных преобразований, исходное неравенство $|\sin \alpha| + |\cos \alpha| \geq 1$ также верно для любого угла $\alpha$.

Ответ: Неравенство доказано. Так как все преобразования были равносильными, а конечное неравенство $2|\sin \alpha \cos \alpha| \geq 0$ верно для любого $\alpha$, то и исходное неравенство $|\sin \alpha| + |\cos \alpha| \geq 1$ верно для любого $\alpha$.